Bentuk Akar - Matematika Kelas 10 SMA

Tujuan belajar

Kamu dapat mengubah bentuk akar menjadi pangkat rasional, menyederhanakan operasi akar, serta merasionalkan penyebut dengan memperhatikan domain.

Akar utama dan pangkat pecahan

Untuk $a\ge0$, $\sqrt a$ menyatakan akar kuadrat utama yang tidak negatif. Jadi $\sqrt{36}=6$, bukan $\pm6$. Berbeda dengan itu, persamaan $x^2=36$ mempunyai dua solusi real, yaitu $x=6$ dan $x=-6$.

Hubungan dengan pangkat rasional, untuk basis positif, adalah $a^{m/n}=(\sqrt[n]{a})^m$. Misalnya $16^{3/4}=2^3=8$. Akar ganjil dapat menerima bilangan negatif, misalnya $\sqrt[3]{-27}=-3$; akar kuadrat bilangan negatif tidak bernilai real.

Untuk setiap $x$ real, $\sqrt{x^2}=\lvert x\rvert$. Nilai mutlak diperlukan karena akar utama tidak negatif. Jika $x=-5$, hasilnya 5, bukan $-5$.

Menyederhanakan dan menjumlahkan akar

Pisahkan faktor kuadrat sempurna: $\sqrt{72}=\sqrt{36\times2}=6\sqrt2$. Untuk akar kubik, keluarkan faktor kubik sempurna: $\sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\times2}=3\sqrt[3]2$.

Suku akar sejenis dapat digabung: $3\sqrt2+5\sqrt2=8\sqrt2$. Namun $\sqrt2+\sqrt3$ tidak dapat digabung menjadi $\sqrt5$. Untuk memeriksa, $(\sqrt2+\sqrt3)^2=5+2\sqrt6$, bukan 5.

Contoh $2\sqrt{18}-\sqrt8=6\sqrt2-2\sqrt2=4\sqrt2$. Sederhanakan dulu akar yang tampak berbeda sebelum memutuskan apakah sukunya sejenis.

Perkalian dan pembagian

Untuk $a,b\ge0$, $\sqrt a\sqrt b=\sqrt{ab}$. Misalnya $\sqrt6\sqrt{15}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$. Untuk $b>0$, $\sqrt a/\sqrt b=\sqrt{a/b}$.

Jika melibatkan variabel, tulis syaratnya. Untuk $x>0$, $(2\sqrt x)(3\sqrt[3]x)=6x^{1/2+1/3}=6x^{5/6}$.

Merasionalkan penyebut tunggal

Rasionalkan $3/\sqrt5$ dengan mengalikan pembilang dan penyebut oleh $\sqrt5$:

$$ \frac{3}{\sqrt5}=\frac{3\sqrt5}{5} $$

Nilainya tidak berubah karena faktor pengalinya $\sqrt5/\sqrt5=1$. Tidak boleh hanya mengalikan penyebut. Penyebut semula juga harus bukan nol.

Penyebut dua suku dan sekawan

Bentuk sekawan dari $a+\sqrt b$ adalah $a-\sqrt b$. Hasil kalinya $a^2-b$ karena suku tengah saling menghapus.

$$ \frac{1}{3+\sqrt2} =\frac{3-\sqrt2}{(3+\sqrt2)(3-\sqrt2)} =\frac{3-\sqrt2}{7} $$

Untuk $1/(\sqrt5-\sqrt2)$, gunakan sekawan $\sqrt5+\sqrt2$. Hasilnya $(\sqrt5+\sqrt2)/3$. Selalu periksa penyebut asal dan penyebut hasil perkalian tidak nol.

Cek pemahaman

1. Sederhanakan $\sqrt{98}$.
2. Hitung $\sqrt{x^2}$ untuk $x=-7$.
3. Rasionalkan $2/(\sqrt3+1)$.

Pembahasan

1. $\sqrt{49\times2}=7\sqrt2$.
2. $\lvert-7\rvert=7$.
3. Kalikan dengan $\sqrt3-1$ pada pembilang dan penyebut. Hasilnya $2(\sqrt3-1)/(3-1)=\sqrt3-1$.

Ingat kembali

Akar utama tidak negatif. Gabungkan akar sejenis, gunakan sekawan pada penyebut dua suku, dan pertahankan syarat domain.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan, contoh, dan soal baru berdasarkan Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X (Edisi Revisi), 2023, Bab 1, bagian D, halaman 21-23 (halaman PDF 37-39).