Definisi Eksponen - Matematika Kelas 10 SMA

Tujuan belajar

Kamu dapat menjelaskan basis dan eksponen, menghitung pangkat bulat, serta menghubungkan pangkat pecahan dengan akar. Materi ini melanjutkan bilangan berpangkat yang dipelajari di SMP.

Perkalian berulang dan batas definisinya

Untuk $n$ bilangan bulat positif, $a^n$ menyatakan perkalian $n$ faktor yang masing-masing bernilai $a$. Pada $4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$, basisnya 4 dan eksponennya 3. Pangkat tidak berarti mengalikan basis dengan eksponennya: $4^3 \ne 4 \times 3$.

Definisi perkalian berulang ini langsung berlaku untuk pangkat bulat positif. Pangkat nol, negatif, dan pecahan dijelaskan sebagai perluasan yang menjaga sifat-sifat perpangkatan, bukan sebagai banyaknya faktor negatif atau setengah faktor.

Tanda kurung menentukan basis

Bandingkan $(-3)^2 = 9$ dengan $-3^2 = -(3^2) = -9$. Dalam bentuk pertama, seluruh bilangan negatif menjadi basis. Dalam bentuk kedua, tanda negatif berada di luar perpangkatan.

Basis negatif berpangkat bulat genap menghasilkan bilangan positif; pangkat ganjil menghasilkan bilangan negatif. Contohnya $(-2)^3 = -8$ dan $(-2)^4 = 16$.

Pangkat nol dan negatif

Untuk $a \ne 0$, berlaku $a^0 = 1$. Dari $a^3/a^3 = 1$, aturan pembagian memberikan $a^{3-3} = a^0 = 1$.

Untuk $a \ne 0$ dan $n$ bulat positif:

$$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $$

Jadi $5^{-2} = 1/25$, bukan $-25$. Jika basisnya pecahan, gunakan kebalikannya: $(2/3)^{-2} = (3/2)^2 = 9/4$. Bentuk $0^0$ tidak didefinisikan dalam materi ini, dan $0^{-n}$ tidak terdefinisi karena memerlukan pembagian dengan nol.

Pangkat rasional

Untuk $a>0$, $m$ bilangan bulat, dan $n$ bulat positif:

$$ a^{m/n} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m $$

Misalnya $81^{1/4} = 3$ dan $32^{2/5} = (32^{1/5})^2 = 2^2 = 4$. Penyebut eksponen menunjukkan indeks akar, sedangkan pembilangnya menunjukkan pangkat.

Pembahasan sifat pangkat rasional memakai basis positif agar semua bentuk yang ditulis tetap bernilai real. Akar berindeks ganjil dari bilangan negatif tetap dapat bernilai real, misalnya $\sqrt[3]{-8}=-2$, tetapi akar kuadrat bilangan negatif tidak termasuk bilangan real. Jangan menerapkan aturan pangkat pecahan pada basis negatif tanpa memeriksa domainnya.

Contoh model sederhana

Satu pola menghasilkan dua salinan baru pada tiap tahap, dengan setiap salinan berbeda. Banyak salinan pada tahap ke-$n$ adalah $2^n$, jika tahap 0 memuat satu salinan. Pada tahap 4 terdapat 16 salinan. Ini jumlah pada satu tahap, bukan penjumlahan jumlah seluruh tahap.

Cek pemahaman

1. Hitung $(-4)^2$ dan $-4^2$.
2. Hitung $2^{-4}$.
3. Hitung $64^{2/3}$.

Pembahasan

1. 16 dan $-16$; tanda kurung menentukan apakah tanda negatif masuk ke basis.
2. $2^{-4} = 1/2^4 = 1/16$.
3. $64^{2/3} = (\sqrt[3]{64})^2 = 4^2 = 16$.

Ingat kembali

Periksa basis, eksponen, tanda kurung, dan domain sebelum menghitung. Pangkat negatif menyatakan kebalikan; pangkat pecahan berkaitan dengan akar.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan, contoh, dan soal baru berdasarkan Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X (Edisi Revisi), 2023, Bab 1, bagian A, halaman 4-7 (halaman PDF 20-23).