Pengayaan: Logaritma - Matematika Kelas 10 SMA

Posisi pengayaan

Materi ini mengikuti pengayaan logaritma setelah uji kompetensi Bab 1. Pelajari setelah memahami definisi, sifat, dan fungsi eksponensial. Kamu akan mencari eksponen yang belum diketahui serta menggunakan sifat logaritma.

Logaritma sebagai pencarian eksponen

Untuk $a>0$, $a\ne1$, dan $b>0$:

$$ \log_a b=c \quad\Longleftrightarrow\quad a^c=b $$

Pada $\log_2 32=5$, basisnya 2, bilangan yang dicari logaritmanya (numerus) 32, dan hasilnya 5. Alasannya $2^5=32$. Notasi $\log_a b$ pada halaman ini sama maknanya dengan notasi logaritma berbasis $a$ yang menempatkan basis kecil di kiri kata log pada buku.

Logaritma bukan pembagian numerus oleh basis. Basis 1 tidak boleh karena $1^x$ selalu 1; numerus harus positif dalam bilangan real. Contoh $\log_3 1=0$ karena $3^0=1$, dan $\log_2(1/8)=-3$ karena $2^{-3}=1/8$.

Sifat yang berasal dari aturan eksponen

Untuk $a>0$, $a\ne1$, $u,v>0$, dan $k$ real:

• $\log_a a=1$ dan $\log_a1=0$.
• $\log_a(uv)=\log_a u+\log_a v$.
• $\log_a(u/v)=\log_a u-\log_a v$.
• $\log_a(u^k)=k\log_a u$.

Misalkan $u=a^p$ dan $v=a^q$. Karena $uv=a^{p+q}$, logaritma hasil kali adalah $p+q$. Penalaran ini menjelaskan mengapa logaritma mengubah perkalian menjadi penjumlahan.

Tidak ada aturan umum $\log_a(u+v)=\log_a u+\log_a v$. Contohnya $\log_2(4+4)=3$, sedangkan $\log_24+\log_24=4$.

Logaritma umum dan perubahan basis

Dalam materi ini, $\log b$ tanpa basis tertulis berarti basis 10. Jadi $\log100=2$. Jika memakai kalkulator, periksa tombol log dan basisnya.

Dengan basis pembantu $m>0$ dan $m\ne1$:

$$ \log_a b=\frac{\log_m b}{\log_m a} $$

Contoh $\log_4 8=(\log_2 8)/(\log_2 4)=3/2$. Pembilang dan penyebut harus memakai basis pembantu yang sama. Penyebut bukan nol karena $a\ne1$.

Mencari waktu dan menafsirkan pembulatan

Sebuah model memiliki nilai awal 10 dan berlipat dua setiap jam: $N(t)=10\times2^t$. Kapan model mencapai 60?

Bagi kedua ruas dengan 10 sehingga $2^t=6$, lalu:

$$ t=\log_2 6=\frac{\log6}{\log2}\approx2{,}585 $$

Jika model kontinu yang dimaksud, waktunya sekitar 2,585 jam. Jika nilainya hanya berubah pada akhir tiap jam dan pertanyaannya meminta jam bulat pertama dengan nilai sekurang-kurangnya 60, jawabannya 3 jam: $N(2)=40$ dan $N(3)=80$. Jangan membulatkan waktu tanpa membaca bagaimana proses dan batasnya ditentukan.

Cek pemahaman

1. Hitung $\log_5 125$.
2. Hitung $\log_3 81-\log_3 9$.
3. Tentukan domain $\log_2(x-3)$.

Pembahasan

1. 3 karena $5^3=125$.
2. $4-2=2$, atau $\log_3(81/9)=\log_3 9=2$.
3. Numerus positif: $x-3>0$, sehingga $x>3$.

Ingat kembali

Logaritma mencari eksponen. Periksa basis dan numerus, gunakan sifat pada operasi yang tepat, lalu tafsirkan hasil sesuai konteks.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan, contoh, dan soal baru berdasarkan Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X (Edisi Revisi), 2023, Bab 1, pengayaan Logaritma, halaman 27-33 (halaman PDF 43-49).