Sifat-Sifat Eksponen - Matematika Kelas 10 SMA

Tujuan belajar

Kamu dapat memilih sifat eksponen sesuai operasi, menyederhanakan bentuk aljabar, dan menyelesaikan persamaan eksponen yang memiliki basis sama.

Mengapa eksponen dijumlahkan pada perkalian?

Dalam $a^3 \times a^2$, ada tiga faktor $a$ dan dua faktor $a$, sehingga hasilnya $a^5$. Inilah alasan $a^m a^n = a^{m+n}$, bukan sekadar aturan untuk dihafalkan.

Untuk $a,b>0$ dan eksponen rasional $m,n$, aturan berikut berlaku:

• Perkalian basis sama: $a^m a^n = a^{m+n}$.
• Pembagian basis sama: $a^m/a^n = a^{m-n}$.
• Pangkat dipangkatkan: $(a^m)^n = a^{mn}$.
• Pangkat hasil kali: $(ab)^n = a^n b^n$.
• Pangkat hasil bagi: $(a/b)^n = a^n/b^n$.

Untuk eksponen bulat, basis negatif juga dapat digunakan, dengan syarat semua bentuk terdefinisi. Setiap penyebut harus bukan nol, dan basis pada pangkat nol atau negatif harus bukan nol. Pembatasan basis positif di atas memudahkan penggunaan serentak dengan pangkat rasional.

Contoh operasi campuran

Sederhanakan $\frac{3^4 \times 3^{-1}}{3^2}$.

$$ \frac{3^4 \times 3^{-1}}{3^2} = 3^{4+(-1)-2} = 3^1 = 3 $$

Pada $\left(2x^2 y^{-1}\right)^3$, dengan $x,y\ne0$, pangkat 3 berlaku untuk semua faktor. Hasilnya $2^3 x^6 y^{-3} = 8x^6/y^3$, bukan $2x^6/y$.

Pangkat pecahan pada basis sama

Untuk $x>0$, bentuk $x^{1/2}x^{1/3}$ menjadi $x^{1/2+1/3}=x^{5/6}$. Samakan penyebut saat menjumlahkan pecahan. Sementara itu, $(x^{1/2})^{1/3}=x^{1/6}$ karena eksponennya dikalikan.

Operasi yang tidak boleh tertukar

Aturan penjumlahan eksponen berlaku pada perkalian dengan basis sama, bukan pada penjumlahan dua bilangan berpangkat. Misalnya $2^3+2^4=8+16=24$, bukan $2^7$.

Pangkat tidak dibagikan ke penjumlahan: $(a+b)^2$ umumnya tidak sama dengan $a^2+b^2$. Misalnya $(2+3)^2=25$, sedangkan $2^2+3^2=13$. Untuk basis berbeda, jangan menjumlahkan eksponen secara langsung.

Persamaan eksponen dengan basis sama

Untuk $a>0$ dan $a\ne1$, fungsi $a^x$ bersifat satu-ke-satu. Karena itu, $a^u=a^v$ menghasilkan $u=v$.

Contoh $2^{x+1}=16$. Tulis $16=2^4$, lalu $x+1=4$, sehingga $x=3$. Periksa kembali: $2^{3+1}=16$.

Jika $9^x=27$, ubah kedua ruas ke basis 3: $3^{2x}=3^3$. Maka $2x=3$ dan $x=3/2$. Syarat basis bukan 1 diperlukan: $1^x=1$ tidak menentukan satu nilai $x$.

Cek pemahaman

1. Sederhanakan $5^7/5^3$.
2. Sederhanakan $(3a^2)^2$.
3. Selesaikan $4^x=8$.

Pembahasan

1. $5^{7-3}=5^4=625$.
2. $3^2a^4=9a^4$.
3. $2^{2x}=2^3$, sehingga $x=3/2$.

Ingat kembali

Kenali operasi sebelum memilih sifat: perkalian menjumlahkan eksponen, pembagian mengurangkannya, dan pangkat dipangkatkan mengalikannya.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan, contoh, dan soal baru berdasarkan Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X (Edisi Revisi), 2023, Bab 1, bagian B, halaman 7-10 (halaman PDF 23-26).