Fungsi Eksponensial - Matematika Kelas 10 SMA

Tujuan belajar

Kamu dapat mengenali fungsi eksponensial, membaca grafik, dan menyusun model pertumbuhan atau peluruhan dengan satuan waktu yang jelas.

Bentuk fungsi eksponensial

Model dasar ditulis $f(x)=c a^x$, dengan $a>0$, $a\ne1$, dan $c\ne0$. Pada model kuantitas positif di materi ini, gunakan $c>0$. Variabel berada di eksponen; bentuk $2x$ dan $x^2$ berbeda dari $2^x$.

Nilai awalnya $f(0)=c$. Untuk kenaikan $x$ sebesar satu, nilai fungsi dikalikan faktor tetap $a$. Sebaliknya, fungsi linear memiliki selisih tetap untuk kenaikan input yang sama.

Membaca grafik pertumbuhan dan peluruhan

Grafik membandingkan $y=2^x$ dan $y=(1/2)^x$, dengan sumbu horizontal $x$ dan sumbu vertikal $y$. Keduanya melalui $(0,1)$ dan selalu berada di atas sumbu horizontal. Pada $x=3$, nilainya masing-masing 8 dan $1/8$.

Untuk $c>0$, fungsi meningkat jika $a>1$ dan menurun jika $0<a<1$. Domain fungsi dasar adalah semua bilangan real, dan jangkauannya bilangan real positif. Nilainya mendekati nol pada salah satu arah tanpa menjadi nol. Jika $c<0$, arah perubahan berbeda; jangan menggunakan kesimpulan meningkat atau menurun tadi tanpa memeriksa tanda $c$.

Model dengan periode waktu

Jika nilai awalnya $N_0$ dan setiap $\Delta t$ satuan waktu dikalikan faktor $a$, gunakan:

$$ N(t)=N_0 a^{t/\Delta t} $$

Contoh model: sebuah pola memuat 12 titik pada awalnya dan banyak titik menjadi dua kali lipat setiap 30 menit. Dalam 2 jam terdapat $120/30=4$ tahap, sehingga $N(120)=12\times2^4=192$ titik. Jika $t$ dinyatakan dalam jam, rumus yang sama ditulis $N(t)=12\times2^{2t}$.

Ini jumlah titik pada tahap tersebut. Tambahan dibanding awal adalah $192-12=180$ titik. Untuk proses yang berubah hanya pada akhir tahap, gunakan jumlah tahap bulat; kurva kontinu merupakan perluasan model.

Pertumbuhan dan penurunan persentase

Pertumbuhan tetap $r$ per periode memberi faktor $1+r$. Penurunan tetap $r$ memberi faktor $1-r$, dengan $r$ ditulis sebagai desimal.

Contoh jumlah bibit pada model tumbuh 10% setiap bulan dari 200 bibit: $N(n)=200(1{,}1)^n$. Setelah dua bulan, model memberi 242 bibit. Ini pertumbuhan majemuk karena persentase dihitung dari nilai periode sebelumnya.

Sebuah model bahan menyisakan 80% massa tiap jam. Dari 500 gram, setelah 3 jam tersisa $500(0{,}8)^3=256$ gram. Yang berkurang adalah $500-256=244$ gram. Penurunan 20% berarti faktor sisa 0,8, bukan 0,2.

Memeriksa batas model

Model peluruhan dengan faktor positif tidak pernah tepat bernilai nol dalam waktu berhingga. Jika pertanyaan menanyakan kapan nilai kurang dari suatu batas, bandingkan dengan batas tersebut. Model matematis juga tidak menjamin proses nyata terus mengikuti persentase tetap.

Cek pemahaman

1. Apakah $f(x)=5(0{,}7)^x$ tumbuh atau meluruh?
2. Hitung $N(3)$ jika $N(t)=6\times3^t$.
3. Benda bermassa 320 gram menyisakan separuh massanya tiap tahap. Berapa sisanya setelah 4 tahap?

Pembahasan

1. Meluruh karena $0<0{,}7<1$ dan koefisien awal positif.
2. $6\times27=162$.
3. $320(1/2)^4=20$ gram.

Ingat kembali

Tentukan nilai awal, faktor pengali, dan banyak periode. Bedakan jumlah akhir dari pertambahan atau pengurangannya.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan, contoh, dan soal baru berdasarkan Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X (Edisi Revisi), 2023, Bab 1, bagian C, halaman 10-21 (halaman PDF 26-37).