Bilangan Bentuk Akar - Matematika Kelas 8 SMP

Tujuan belajar

Kamu akan menghubungkan pangkat pecahan dengan akar, menyederhanakan dan mengoperasikan bentuk akar, serta mengubah penyebut menjadi rasional tanpa mengubah nilai pecahan. Notasi √(2) dibaca akar kuadrat dari dua.

Akar kuadrat utama

Akar kuadrat utama dari a, ditulis √(a), adalah bilangan tidak negatif yang kuadratnya a. Dalam bilangan real, a harus tidak negatif. Contohnya √(49) = 7 karena 7^2 = 49.

Bedakan nilai akar dan penyelesaian persamaan. √(49) = 7, sedangkan persamaan x^2 = 49 mempunyai dua penyelesaian, x = 7 atau x = -7. Simbol akar utama tidak sekaligus berarti dua nilai.

Kuadrat	Akar kuadrat utama
4^2 = 16	√(16) = 4
5^2 = 25	√(25) = 5
10^2 = 100	√(100) = 10
0^2 = 0	√(0) = 0

Luas persegi 81 cm persegi mempunyai panjang sisi √(81) = 9 cm. Panjang sisi dipilih tidak negatif. Dalam bilangan real, √(-9) tidak terdefinisi karena kuadrat setiap bilangan real tidak negatif.

Hubungan akar dan pangkat pecahan

Untuk a tidak negatif, a^(1/2) = √(a). Misalnya 36^(1/2) = 6. Untuk a positif dan n bilangan bulat positif, a^(1/n) menyatakan akar pangkat n dari a. Sebagai contoh, 27^(1/3) = 3 karena 3^3 = 27. Bentuk a^(m/n) dapat dihitung sebagai akar pangkat n dari a^m untuk a positif.

Perhatikan bahwa √(x^2) = |x|, yaitu jarak x dari nol. Jika x = -5, hasilnya √(25) = 5, bukan -5. Untuk panjang yang sudah diketahui positif, bentuk ini dapat disederhanakan menjadi x.

Rasional atau irasional?

Tidak setiap penulisan akar bernilai irasional. Akar kuadrat sempurna seperti √(64) = 8 adalah rasional. Akar dari bilangan bulat positif yang bukan kuadrat sempurna, seperti √(2) dan √(3), adalah irasional.

Desimal irasional tidak berhenti dan tidak akhirnya berulang. Desimal berulang seperti 1/3 = 0,333... tetap rasional. Merasionalkan penyebut hanya mengubah bentuk penyebut menjadi rasional; itu tidak membuat seluruh nilai pecahan otomatis rasional.

Menyederhanakan bentuk akar

Untuk a dan b tidak negatif, √(ab) = √(a) x √(b). Cari faktor kuadrat sempurna terbesar agar penyederhanaan lebih cepat:

• √(50) = √(25 x 2) = 5√(2).
• √(72) = √(36 x 2) = 6√(2).
• √(75) = √(25 x 3) = 5√(3).

Hasil akhir tidak lagi menyisakan faktor kuadrat sempurna lebih dari 1 di dalam akar. Untuk memperkirakan √(20), gunakan 4^2 < 20 < 5^2, sehingga nilainya antara 4 dan 5. Nilai tepat √(20) = 2√(5), sedangkan desimal yang dibulatkan hanya pendekatan.

Penjumlahan dan pengurangan

Gabungkan hanya bentuk akar sejenis setelah disederhanakan. Contohnya 3√(2) + 5√(2) = 8√(2). Pada √(8) + √(18), ubah dahulu menjadi 2√(2) + 3√(2) = 5√(2).

Bentuk √(2) + √(3) tidak dapat digabung menjadi √(5). Pemeriksaan sederhana: √(9) + √(16) = 3 + 4 = 7, sedangkan √(25) = 5. Jadi akar tidak menyebar terhadap penjumlahan dengan cara tersebut.

Perkalian dan pembagian

Kalikan koefisien dan radikannya: (2√(3))(3√(6)) = 6√(18) = 18√(2). Radikan adalah bilangan atau bentuk yang berada di dalam tanda akar.

Untuk a tidak negatif dan b positif, √(a)/√(b) = √(a/b). Contoh √(48)/√(3) = √(16) = 4. Syarat b positif memastikan penyebutnya bukan nol.

Pada perkalian dua bentuk berkurung, gunakan distributif: (√(3) + 2)(√(3) - 2) = 3 - 4 = -1. Dua faktor itu disebut pasangan sekawan karena hanya berbeda tanda di tengah.

Merasionalkan penyebut satu akar

Untuk mengubah 3/√(5), kalikan pembilang dan penyebut dengan √(5):

3/√(5) = (3√(5))/(√(5) x √(5)) = 3√(5)/5.

Nilainya sama karena pecahan dikali √(5)/√(5) = 1. Mengalikan hanya penyebut akan mengubah nilai sehingga tidak diperbolehkan.

Penyebut berjumlah atau berselisih

Gunakan pasangan sekawan. Untuk 3/(2 + √(3)), kalikan dengan (2 - √(3))/(2 - √(3)). Penyebut menjadi 4 - 3 = 1, sehingga hasilnya 6 - 3√(3).

Untuk 2/(√(5) + √(3)), gunakan sekawan √(5) - √(3). Penyebut menjadi 5 - 3 = 2, sehingga hasilnya √(5) - √(3). Pastikan faktor yang dipakai bukan nol dan pembilang juga dikalikan.

Cek pemahaman

1. Apakah √(81) bernilai 9 atau sekaligus 9 dan -9?
2. Sederhanakan √(108).
3. Hitung √(12) + √(27).
4. Hitung √(50)/√(2).
5. Rasionalkan 1/(√(3) - √(2)).

Pembahasan

1. Akar utamanya 9. Dua nilai muncul pada persamaan x^2 = 81, bukan pada simbol akar utama.
2. √(36 x 3) = 6√(3).
3. 2√(3) + 3√(3) = 5√(3).
4. √(25) = 5.
5. Kalikan dengan sekawan √(3) + √(2). Penyebut 3 - 2 = 1, sehingga hasilnya √(3) + √(2).

Ringkasan

Sederhanakan radikan sebelum menggabungkan akar sejenis. Gunakan aturan perkalian dan pembagian sesuai domain bilangan real. Rasionalisasi mengubah bentuk, bukan nilai, dan selalu mengalikan pembilang serta penyebut dengan faktor sama.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan dan contoh baru berdasarkan Bab 1 bagian B, Matematika untuk SMP/MTs Kelas VIII (2022), halaman 26-37 (halaman PDF 46-57).