Menemukan Konsep Pythagoras - Matematika Kelas 8 SMP

Tujuan belajar

Kamu akan mengenali sisi siku-siku dan hipotenusa, menjelaskan hubungan luas persegi pada sisi-sisi segitiga siku-siku, serta menentukan panjang sisi yang belum diketahui. Tanda ^ menyatakan pangkat, sehingga a^2 dibaca a kuadrat.

Tentukan sisi miring dari sudutnya

Segitiga siku-siku mempunyai satu sudut 90°. Dua sisi yang bertemu pada sudut tersebut disebut sisi siku-siku. Sisi di hadapan sudut 90° disebut hipotenusa atau sisi miring dan merupakan sisi terpanjang.

Pada sketsa berikut, sudut B siku-siku. AB dan BC adalah sisi siku-siku; AC adalah hipotenusa. Sketsa tidak dibuat menurut skala ukuran.

A
|\
| \
|  \
B---C

Jika segitiga diputar, hipotenusanya tetap AC. Jangan memilih sisi miring hanya karena suatu garis tampak condong. Nama variabel juga tidak menentukan perannya: jika sudut C yang siku-siku, hipotenusanya justru AB.

Hubungan tiga persegi

Buat persegi pada setiap sisi suatu segitiga siku-siku. Jika kedua sisi siku-siku panjangnya a dan b serta hipotenusanya c, luas ketiga persegi adalah a^2, b^2, dan c^2.

Teorema Pythagoras menyatakan c^2 = a^2 + b^2. Artinya, luas persegi pada hipotenusa sama dengan jumlah luas persegi pada dua sisi lainnya. Ini bukan c = a + b. Contoh a = 3 dan b = 4 memberi 9 + 16 = 25 = 5^2, sehingga c = 5, bukan 7.

Sisi siku-siku a	Sisi siku-siku b	a^2 + b^2	Hipotenusa c
3	4	25	5
5	12	169	13
8	15	289	17

Mencocokkan beberapa contoh membantu melihat pola, tetapi pembuktian menjelaskan mengapa hubungan berlaku untuk semua segitiga siku-siku.

Pembuktian dengan luas

Ambil empat segitiga siku-siku kongruen dengan kaki a dan b, serta hipotenusa c. Susun di dalam persegi besar bersisi a + b sehingga tersisa persegi tengah bersisi c. Sudut tengah siku-siku karena dua sudut lancip segitiga berjumlah 90°.

Luas persegi besar adalah (a + b)^2. Luas empat segitiga adalah 4 x (ab/2) = 2ab. Maka:

1. (a + b)^2 = 2ab + c^2.
2. a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2.
3. Kurangi kedua ruas dengan 2ab: a^2 + b^2 = c^2.

Pembuktian ini menghubungkan luas bangun dan aljabar. Semua besaran luas harus memakai satuan persegi yang sama.

Mencari hipotenusa

Untuk kaki 6 cm dan 8 cm, c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100. Jadi c = √(100) = 10 cm. Langkah akar terakhir tidak boleh dihilangkan. Angka 100 adalah kuadrat panjang, bukan panjangnya.

Pilih akar positif karena panjang sisi harus positif. Periksa juga bahwa 10 lebih besar daripada masing-masing 6 dan 8 serta lebih kecil daripada 6 + 8.

Mencari salah satu kaki

Jika hipotenusa 13 cm dan satu kaki 5 cm, maka kaki lain memenuhi b^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144, sehingga b = 12 cm.

Ringkasnya, hipotenusa diperoleh dari akar jumlah kuadrat kaki, sedangkan kaki diperoleh dari akar selisih kuadrat hipotenusa dan kaki yang diketahui. Jangan menjumlahkan kuadrat saat yang dicari adalah kaki.

Bentuk akar dan ketelitian

Untuk kaki 2 cm dan 3 cm, hipotenusa √(4 + 9) = √(13) cm. Jawaban bentuk akar ini tepat. Jika diminta pembulatan dua angka desimal, nilainya sekitar 3,61 cm.

Jangan mengganti √(13) menjadi √(4) + √(9), karena hasilnya 5 dan tidak benar. Pembulatan sebaiknya dilakukan pada akhir perhitungan agar kesalahan tidak menumpuk.

Jika kaki 90 cm dan 1,2 meter, samakan satuan menjadi 0,9 m dan 1,2 m. Hipotenusa √(0,81 + 1,44) = √(2,25) = 1,5 m. Menggunakan 90 dan 1,2 tanpa konversi memberi hasil yang salah.

Cek pemahaman

1. Segitiga ABC siku-siku di A. Sisi mana hipotenusanya?
2. Kaki 9 cm dan 12 cm. Berapa hipotenusanya?
3. Hipotenusa 10 cm dan satu kaki 6 cm. Berapa kaki lainnya?
4. Kaki 1 cm dan 1 cm. Apakah hipotenusanya 2 cm?

Pembahasan

1. BC, karena berada di hadapan sudut A.
2. √(81 + 144) = 15 cm.
3. √(100 - 36) = 8 cm.
4. Tidak; hipotenusanya √(2) cm, bukan jumlah kedua kaki.

Ringkasan

Kenali sudut siku-siku dan hipotenusa terlebih dahulu. Gunakan hubungan kuadrat, ambil akar positif, samakan satuan, dan periksa kewajaran panjang.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan dan contoh baru berdasarkan Bab 2 bagian A, Matematika untuk SMP/MTs Kelas VIII (2022), halaman 49-64 (halaman PDF 69-84).