Rumus Jarak (Pengayaan) - Matematika Kelas 8 SMP

Tujuan belajar

Bagian pengayaan ini memperluas Pythagoras untuk menghitung jarak dua titik pada bidang Kartesius. Kamu akan memakai selisih koordinat, menangani koordinat negatif, dan membedakan jarak lurus dari lintasan melalui garis kisi.

Membentuk segitiga pada bidang koordinat

Misalkan A(x1, y1) dan B(x2, y2). Buat titik bantu C(x2, y1). Ruas AC mendatar dan CB tegak, sehingga keduanya saling tegak lurus. Panjang kedua kaki adalah |x2 - x1| dan |y2 - y1|.

Pythagoras memberi rumus jarak:

AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2).

Tanda nilai mutlak tidak perlu ditulis di dalam rumus akhir karena selisih koordinat dikuadratkan. Namun, selisih bertanda bukan panjang negatif; panjang kaki tetap tidak negatif.

Jika kedua titik segaris mendatar atau tegak, salah satu selisih nol. Rumus masih berlaku, meskipun titik bantu tidak membentuk segitiga dengan luas positif.

Contoh jarak dasar

Ambil A(1, 2) dan B(4, 6). Selisih mendatar 4 - 1 = 3 dan selisih vertikal 6 - 2 = 4. Jarak √(3^2 + 4^2) = 5 satuan.

Lintasan A ke C lalu B panjangnya 3 + 4 = 7 satuan. Jarak AB adalah ruas langsung sepanjang 5 satuan. Jangan memakai jumlah selisih mendatar dan tegak untuk menjawab jarak lurus.

Satuan berasal dari skala koordinat. Jika satu satuan pada kedua sumbu mewakili 2 meter, jarak 5 satuan berarti 10 meter. Jika ukuran fisik per satuan sumbu berbeda, ubah kedua selisih ke satuan panjang yang sama sebelum memakai Pythagoras.

Koordinat negatif

Untuk P(-2, 3) dan Q(4, -5), selisihnya 4 - (-2) = 6 serta -5 - 3 = -8. Kuadratnya 36 dan 64. Jarak √(36 + 64) = 10 satuan.

Gunakan tanda kurung saat mengurangkan bilangan negatif. Kesalahan 4 - (-2) dianggap 2 dapat mengubah hasil akhir. Jarak tidak negatif, meskipun kedua titik berada di wilayah koordinat negatif.

Jika A(-6, -4) dan B(-3, 0), selisihnya 3 dan 4, sehingga jaraknya 5. Posisi terhadap titik asal tidak mengubah aturan: yang diperlukan adalah selisih koordinat kedua titik, bukan jarak masing-masing dari nol.

Mengapa urutan titik tidak mengubah jarak?

Jika A dan B ditukar, selisih berubah tanda. Namun, (x1 - x2)^2 = (x2 - x1)^2 dan demikian juga untuk y. Karena itu AB = BA.

Contoh A(1, 2) ke B(4, 6) memakai 3 dan 4, sedangkan arah sebaliknya memakai -3 dan -4. Keduanya menghasilkan akar 25 = 5. Pilih urutan apa pun, tetapi konsisten memakai satu titik sebagai pasangan x dan y.

Jarak mendatar, tegak, dan nol

Jika A(2, 3) dan B(2, 11), koordinat x sama. Jarak √(0 + 8^2) = 8. Jika A(-4, 5) dan B(3, 5), koordinat y sama dan jarak 7.

Dua titik dengan koordinat sama memiliki jarak nol. Sebaliknya, jarak nol berarti kedua kuadrat selisih bernilai nol, sehingga x dan y masing-masing sama. Ini berbeda dari satu selisih nol saja.

Menguji segitiga siku-siku

Diketahui A(0, 0), B(6, 0), dan C(6, 8). Panjang AB = 6, BC = 8, dan AC = 10. Karena AB^2 + BC^2 = AC^2, segitiganya siku-siku di B.

Untuk pengujian, kamu dapat membandingkan kuadrat jarak tanpa menghitung akar setiap sisi. Cara ini menjaga nilai tetap tepat dan mempercepat pekerjaan, terutama jika akar tidak bulat. Pastikan ketiga titik berbeda dan tidak segaris agar benar-benar membentuk segitiga.

Mencari koordinat yang belum diketahui

A(1, 2), B(x, 6), dan AB = 5. Rumus jarak memberi (x - 1)^2 + 4^2 = 5^2. Maka (x - 1)^2 = 9, sehingga x - 1 dapat bernilai 3 atau -3.

Jadi x = 4 atau x = -2. Keduanya mungkin karena titik B dapat berada di kanan atau kiri A pada garis y = 6. Jika soal menambah syarat B di kanan A, pilih x = 4. Jangan selalu mengambil satu tanda ketika yang dicari koordinat, bukan panjang kaki.

Cek pemahaman

1. Berapa jarak A(0, 0) dan B(5, 12)?
2. Berapa jarak P(-3, -2) dan Q(1, 1)?
3. Berapa jarak titik (7, -4) dan (7, 5)?
4. Untuk jarak yang sama, apakah menukar urutan dua titik mengubah hasil?

Pembahasan

1. √(25 + 144) = 13 satuan.
2. Selisih 4 dan 3; jaraknya 5 satuan.
3. Selisih x nol dan selisih y 9, sehingga jaraknya 9 satuan.
4. Tidak. Tanda selisih berubah tetapi kuadratnya tetap sama.

Ringkasan

Rumus jarak adalah Pythagoras pada selisih koordinat. Gunakan pasangan koordinat yang benar, kuadratkan selisih bertanda dengan teliti, dan pahami bahwa jarak lurus berbeda dari lintasan pada kisi.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan dan contoh baru berdasarkan Bab 2 bagian E, Matematika untuk SMP/MTs Kelas VIII (2022), halaman 90-92 (halaman PDF 110-112).