Memahami Relasi - Matematika Kelas 8 SMP

Tujuan belajar

Kamu akan mengenali himpunan dan anggotanya, menyajikan himpunan dengan beberapa cara, serta menyatakan relasi melalui diagram panah, pasangan berurutan, dan diagram Kartesius.

Himpunan mempunyai anggota yang jelas

Himpunan adalah kumpulan objek yang keanggotaannya dapat ditentukan dengan jelas. Contohnya himpunan bilangan cacah kurang dari 5, yaitu A = {0, 1, 2, 3, 4}. Setiap objek di dalamnya disebut anggota.

Kumpulan buku bagus belum jelas sebagai himpunan jika kata bagus belum diberi kriteria yang disepakati. Sebaliknya, kumpulan buku di rak bernomor 3 pada waktu pengamatan tertentu mempunyai anggota yang dapat diperiksa.

Banyak anggota A disebut kardinalitas dan ditulis n(A). Pada A di atas, n(A) = 5. Urutan penulisan tidak mengubah himpunan: {1, 2, 3} sama dengan {3, 1, 2}. Anggota yang ditulis berulang juga tidak dihitung lagi: {a, b, a, c} mempunyai tiga anggota berbeda, bukan empat.

Tiga cara menyatakan himpunan

Ambil himpunan bilangan genap positif kurang dari 10.

Cara	Penyajian
Deskripsi	Bilangan genap positif kurang dari 10
Enumerasi atau daftar anggota	{2, 4, 6, 8}
Notasi pembentuk himpunan	{x

Garis tegak pada notasi pembentuk dibaca dengan syarat. Menuliskan semesta atau jenis bilangan penting: syarat x < 5 pada bilangan asli berbeda dari syarat sama pada bilangan real.

Himpunan berhingga memiliki banyak anggota yang dapat dinyatakan dengan bilangan cacah, seperti {2, 4, 6, 8}. Himpunan bilangan asli {1, 2, 3, ...} tak berhingga. Tiga titik menandakan pola berlanjut, tetapi pola harus jelas, bukan tebakan bebas.

Kosong, semesta, dan himpunan bagian

Himpunan kosong tidak mempunyai anggota dan dapat ditulis {}. Contohnya himpunan bilangan asli yang kurang dari 1. Himpunan {0} bukan kosong; ia mempunyai satu anggota, yaitu nol.

Himpunan semesta memuat seluruh objek yang sedang dibahas. Untuk {2, 4, 6}, semesta yang mungkin antara lain bilangan genap, bilangan cacah, atau bilangan bulat. Pilihan semesta harus mencakup semua anggota dan sesuai pembicaraan.

Himpunan P merupakan himpunan bagian Q jika setiap anggota P juga anggota Q. Misalnya {2, 4} merupakan bagian dari {1, 2, 3, 4}. Bedakan anggota dengan himpunan bagian: angka 2 adalah anggota, sedangkan {2} adalah himpunan yang memuat angka 2. Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan.

Pasangan berurutan dan hasil kali Kartesius

Pasangan (a, b) menempatkan a sebagai komponen pertama dan b sebagai komponen kedua. Urutannya bermakna. Pasangan (1, 2) berbeda dari (2, 1).

Jika A = {1, 2} dan B = {p, q}, hasil kali Kartesius A x B berisi semua pasangan dengan komponen pertama dari A dan kedua dari B:

A x B = {(1, p), (1, q), (2, p), (2, q)}.

Ada 2 x 2 = 4 pasangan. Untuk himpunan berhingga dengan n(A) = m dan n(B) = n, banyak pasangan A x B adalah mn. Jangan menyamakan hasil kali Kartesius dengan perkalian nilai angka setiap anggota.

Relasi memilih pasangan yang memenuhi aturan

Relasi dari A ke B dapat dinyatakan sebagai himpunan bagian dari A x B. Setiap pasangan harus mengikuti arah A ke B dan komponen-komponennya harus berasal dari himpunan yang ditetapkan.

Ambil A = {1, 2} dan B = {2, 3}, dengan relasi anggota A kurang dari anggota B. Pasangan yang memenuhi adalah {(1, 2), (1, 3), (2, 3)}. Pasangan (2, 2) tidak memenuhi karena 2 tidak kurang dari 2.

Relasi umum boleh memasangkan satu anggota asal dengan beberapa anggota tujuan, atau tidak memasangkannya sama sekali. Ini berbeda dari fungsi yang mempunyai syarat khusus dan akan dibahas pada subbab berikutnya.

Tiga penyajian relasi

Relasi pada contoh dapat dinyatakan sebagai:

A ke B, aturan a < b
1 --> 2
1 --> 3
2 --> 3

Pada diagram panah, panah berangkat dari anggota A menuju anggota B. Pada himpunan pasangan berurutan, tuliskan seluruh pasangan yang sah. Pada diagram Kartesius, letakkan anggota A pada sumbu mendatar dan B pada sumbu tegak, lalu beri titik di (1, 2), (1, 3), dan (2, 3).

Ketiganya membawa informasi relasi yang sama. Jika memakai kategori berupa nama, sumbu menampilkan nama kategori; jarak antarlabel tidak berarti ukuran numerik. Jangan menghubungkan titik-titik kategori menjadi garis perubahan waktu.

Arah kalimat relasi

Jika relasi dari A ke B berbunyi anggota A satu lebihnya dari anggota B, modelnya a = b + 1. Untuk A = {2, 3, 4} dan B = {1, 2, 3, 4}, pasangannya (2, 1), (3, 2), (4, 3), bukan (2, 3), (3, 4).

Untuk relasi faktor dari dengan A = {2, 3} dan B = {6, 8}, pasangannya {(2, 6), (2, 8), (3, 6)}. Angka 3 bukan faktor dari 8 karena pembagiannya tidak habis.

Relasi kosong juga mungkin, misalnya aturan lebih besar dari pada A = {1} dan B = {2}. Tidak ada pasangan yang memenuhi, tetapi himpunan pasangan kosong tetap merupakan relasi dari A ke B.

Cek pemahaman

1. Berapa n({a, b, a, c})?
2. Apakah {0} himpunan kosong?
3. Jika A = {1, 2, 3} dan B = {p, q}, berapa anggota A x B?
4. Tentukan pasangan relasi lebih dari dari A = {2, 4} ke B = {1, 3}.

Pembahasan

1. 3 anggota berbeda.
2. Tidak; ada satu anggota, yaitu 0.
3. 3 x 2 = 6 pasangan.
4. {(2, 1), (4, 1), (4, 3)}.

Ringkasan

Tentukan anggota himpunan, arah relasi, dan aturan pasangan dengan jelas. Sajikan pasangan yang sama secara konsisten pada diagram panah, pasangan berurutan, atau bidang Kartesius.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan dan contoh baru berdasarkan Bab 4 bagian A, Matematika untuk SMP/MTs Kelas VIII (2022), halaman 141-162 (halaman PDF 161-182).