Tripel Pythagoras - Matematika Kelas 8 SMP

Tujuan belajar

Kamu akan menguji apakah tiga panjang membentuk segitiga siku-siku, mengenali dan membentuk tripel Pythagoras, serta membedakan segitiga lancip, siku-siku, dan tumpul dari panjang sisi.

Kebalikan teorema Pythagoras

Teorema Pythagoras dimulai dari informasi segitiga siku-siku untuk memperoleh hubungan kuadrat. Kebalikannya dimulai dari panjang sisi: jika sisi-sisi positif suatu segitiga memenuhi a^2 + b^2 = c^2 dengan c sisi terpanjang, sudut di hadapan c adalah siku-siku.

Misalnya panjang 8, 15, 17 cm. Karena 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2, segitiganya siku-siku. Tidak perlu melihat apakah gambarnya tampak tegak lurus.

Tentukan sisi terpanjang dahulu meskipun urutan angka pada soal berbeda. Untuk 25, 7, 24, sisi terpanjang 25, sehingga yang diuji adalah 7^2 + 24^2 = 25^2.

Apakah tiga panjang dapat menjadi segitiga?

Sebelum mengklasifikasikan, periksa bahwa semua panjang positif dan jumlah dua sisi terpendek lebih besar daripada sisi terpanjang. Panjang 2, 3, 8 tidak membentuk segitiga karena 2 + 3 < 8. Panjang 2, 3, 5 juga tidak membentuk segitiga karena hanya menghasilkan susunan lurus.

Jangan menyebut kedua contoh tersebut segitiga tumpul hanya karena kuadrat sisi terbesar melampaui jumlah dua kuadrat lainnya. Klasifikasi sudut hanya berlaku setelah syarat segitiga terpenuhi.

Arti tripel Pythagoras

Tripel Pythagoras adalah tiga bilangan bulat positif a, b, c yang memenuhi a^2 + b^2 = c^2. Contohnya:

Dua kaki	Hipotenusa	Pemeriksaan
3 dan 4	5	9 + 16 = 25
5 dan 12	13	25 + 144 = 169
8 dan 15	17	64 + 225 = 289
7 dan 24	25	49 + 576 = 625

Segitiga siku-siku tidak harus memiliki panjang bulat. Panjang 1, 1, √(2) memenuhi Pythagoras, tetapi bukan tripel Pythagoras karena salah satu bilangannya bukan bilangan bulat. Demikian juga 1,5; 2; 2,5 adalah ukuran segitiga siku-siku, tetapi bukan tripel bilangan bulat dalam satuan penulisan tersebut.

Kelipatan tripel

Jika 3, 4, 5 merupakan tripel, kalikan semua anggotanya dengan bilangan bulat positif yang sama. Faktor 2 menghasilkan 6, 8, 10 dan faktor 3 menghasilkan 9, 12, 15.

Alasannya (ka)^2 + (kb)^2 = k^2(a^2 + b^2) = (kc)^2. Tripel yang tidak memiliki faktor bersama lebih dari 1 disebut primitif. Contohnya 3, 4, 5 primitif, sedangkan 6, 8, 10 merupakan kelipatannya.

Menambah angka sama tidak menjaga hubungan ini. Dari 3, 4, 5, penambahan 1 menghasilkan 4, 5, 6; 16 + 25 tidak sama dengan 36.

Membentuk tripel dengan dua bilangan

Pilih bilangan bulat positif p > q. Gunakan:

• Kaki pertama p^2 - q^2.
• Kaki kedua 2pq.
• Hipotenusa p^2 + q^2.

Dengan p = 3 dan q = 2, diperoleh 5, 12, 13. Dengan p = 4 dan q = 1, diperoleh 15, 8, 17. Dua kaki dapat ditukar urutannya; hipotenusa tetap yang terbesar.

Pembuktiannya: (p^2 - q^2)^2 + (2pq)^2 = p^4 - 2p^2q^2 + q^4 + 4p^2q^2 = (p^2 + q^2)^2. Rumus selalu menghasilkan tripel positif pada syarat tersebut, tetapi tidak selalu tripel primitif.

Cara lain: untuk bilangan ganjil s minimal 3, tiga bilangan s, (s^2 - 1)/2, dan (s^2 + 1)/2 membentuk tripel. Untuk s = 7 diperoleh 7, 24, 25. Syarat ganjil memastikan kedua pecahan menghasilkan bilangan bulat.

Lancip, siku-siku, atau tumpul?

Setelah memastikan panjang membentuk segitiga, ambil c sebagai sisi terbesar.

Perbandingan	Jenis segitiga
c^2 = a^2 + b^2	Siku-siku
c^2 < a^2 + b^2	Lancip
c^2 > a^2 + b^2	Tumpul

Untuk 4, 5, 6, berlaku 36 < 16 + 25 = 41, sehingga lancip. Untuk 3, 4, 6, berlaku 36 > 9 + 16 = 25 dan 3 + 4 > 6, sehingga tumpul. Sudut terbesar selalu berada di depan sisi terbesar.

Cek pemahaman

1. Apakah 10, 24, 26 tripel Pythagoras?
2. Apakah 2, 5, 9 membentuk segitiga tumpul?
3. Bentuk tripel dari p = 4 dan q = 3.
4. Klasifikasikan segitiga bersisi 5, 6, 7.

Pembahasan

1. Ya; 100 + 576 = 676 = 26^2.
2. Tidak membentuk segitiga karena 2 + 5 < 9.
3. Kaki 16 - 9 = 7 dan 2 x 4 x 3 = 24; hipotenusa 16 + 9 = 25.
4. Lancip karena 49 < 25 + 36 = 61 dan syarat segitiga terpenuhi.

Ringkasan

Tripel memakai bilangan bulat positif. Uji syarat segitiga dahulu, pilih sisi terbesar, lalu bandingkan kuadrat. Kelipatan bersama mempertahankan tripel; penambahan sama tidak.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan dan contoh baru berdasarkan Bab 2 bagian B, Matematika untuk SMP/MTs Kelas VIII (2022), halaman 64-76 (halaman PDF 84-96).