Penyebaran Data - Matematika Kelas 8 SMP

Tujuan belajar

Kamu akan menghitung jangkauan, kuartil bawah, kuartil tengah, kuartil atas, jangkauan antarkuartil, dan simpangan kuartil. Kamu juga akan membandingkan penyebaran dua kelompok serta menjelaskan pengaruh perubahan data.

Pusat yang sama belum tentu penyebarannya sama

Kelompok A memiliki data 6, 7, 8, 9, 10. Kelompok B memiliki data 2, 5, 8, 11, 14. Kedua kelompok mempunyai rata-rata 8 dan median 8, tetapi nilai-nilai B lebih berjauhan. Ukuran pemusatan saja belum menggambarkan seluruh keadaan data.

Penyebaran membahas seberapa lebar atau rapat nilai-nilai dalam kumpulan data. Untuk memeriksanya, kita akan menggunakan nilai terkecil dan terbesar serta batas-batas kuartil. Semua contoh di sini merupakan data tunggal; frekuensi menyatakan banyak pengulangan suatu nilai, bukan interval kelas.

Jangkauan data

Jangkauan = nilai terbesar - nilai terkecil. Untuk A, jangkauan = 10 - 6 = 4. Untuk B, jangkauan = 14 - 2 = 12. Jangkauan B lebih besar, sehingga rentang nilainya lebih lebar.

Pada data 12, 5, 9, 7, 11, nilai terbesar 12 dan terkecil 5. Jangkauannya 7. Jangan mengurangkan data pertama dan terakhir sebelum memeriksa nilai maksimum dan minimum. Mengurutkan data membantu, tetapi rumus jangkauan tetap hanya memakai kedua nilai ujung tersebut.

Jika data diukur dalam menit, jangkauan juga dalam menit. Jangkauan tidak pernah negatif. Bila semua pengamatan bernilai sama, jangkauannya nol. Namun, jangkauan tidak memperhatikan susunan nilai di antara kedua ujung: dua kumpulan yang sangat berbeda dapat mempunyai jangkauan sama.

Kuartil sebagai penanda posisi data

Setelah data diurutkan, kuartil menandai pembagian posisi data menjadi empat bagian. Q1 adalah kuartil bawah, Q2 adalah kuartil tengah atau median, dan Q3 adalah kuartil atas. Nilainya memenuhi Q1 tidak lebih besar dari Q2 dan Q2 tidak lebih besar dari Q3. Karena pengamatan dapat berulang, beberapa kuartil bisa bernilai sama.

Dalam materi ini, cara penentuannya adalah median dari dua bagian data. Hitung Q2 terlebih dahulu. Untuk banyak data genap, bagi data menjadi dua bagian sama banyak. Untuk banyak data ganjil, keluarkan satu pengamatan tepat di posisi median sebelum membentuk bagian bawah dan atas. Q1 adalah median bagian bawah dan Q3 median bagian atas. Gunakan aturan ini secara konsisten; metode kuartil pada perangkat lunak lain dapat menggunakan aturan posisi berbeda.

Contoh banyak data genap

Data waktu menyelesaikan aktivitas, dalam menit, setelah diurutkan adalah:

2, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 13, 15, 18.

Ada 10 pengamatan. Q2 adalah rata-rata nilai kelima dan keenam: (8 + 10)/2 = 9 menit. Lima pengamatan bawah adalah 2, 4, 5, 7, 8; mediannya 5, sehingga Q1 = 5 menit. Lima pengamatan atas adalah 10, 12, 13, 15, 18; mediannya 13, sehingga Q3 = 13 menit.

Angka 9 tidak harus tercatat sebagai waktu seorang peserta. Angka itu merupakan hasil perhitungan median dua nilai tengah. Bagian bawah tetap memuat 8 dan bagian atas tetap memuat 10; jangan menghapus dua pengamatan tersebut ketika membagi data genap.

Jika suatu bagian berisi banyak data genap, median bagian itu juga harus dihitung dari dua nilai tengahnya. Contoh data 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 memiliki Q2 = 9. Bagian bawahnya 2, 4, 6, 8, sehingga Q1 = (4 + 6)/2 = 5. Bagian atasnya 10, 12, 14, 16, sehingga Q3 = (12 + 14)/2 = 13.

Contoh banyak data ganjil

Gunakan data terurut 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18. Karena n = 9, Q2 berada pada posisi kelima, yaitu 10. Keluarkan hanya pengamatan tengah tersebut ketika membagi data menjadi dua bagian.

• Bagian bawah: 2, 4, 6, 8. Q1 = (4 + 6)/2 = 5.
• Bagian atas: 12, 14, 16, 18. Q3 = (14 + 16)/2 = 15.

Mengecualikan median berarti mengecualikan satu pengamatan di posisi tengah, bukan menghapus semua pengamatan yang nilainya sama dengan median. Misalnya ada beberapa nilai 10 di posisi lain, nilai tersebut tetap masuk bagian bawah atau atas sesuai posisinya.

Kuartil dari tabel frekuensi

Tabel berikut merangkum waktu yang dicatat pada 12 pengamatan.

Waktu (menit)	Frekuensi	Posisi data terurut
2	2	1-2
4	4	3-6
6	4	7-10
8	2	11-12

Q2 menggunakan posisi keenam dan ketujuh: (4 + 6)/2 = 5 menit. Bagian bawah memuat posisi 1-6, sehingga mediannya memakai posisi ketiga dan keempat pada seluruh data. Keduanya bernilai 4, jadi Q1 = 4 menit. Bagian atas memuat posisi 7-12, sehingga dua nilai tengahnya berada pada posisi kesembilan dan kesepuluh. Keduanya bernilai 6, jadi Q3 = 6 menit.

Frekuensi harus dihitung ketika menentukan posisi. Mengambil median empat nilai baris 2, 4, 6, 8 saja akan mengabaikan pengulangan dan tidak mewakili kumpulan 12 pengamatan yang sebenarnya.

Jangkauan antarkuartil dan simpangan kuartil

Jangkauan antarkuartil = Q3 - Q1. Buku juga menyebutnya jangkauan kuartil. Ukuran ini merangkum lebar bagian tengah data. Simpangan kuartil = (Q3 - Q1)/2, yaitu setengah jangkauan antarkuartil.

Pada contoh sepuluh waktu, Q1 = 5 dan Q3 = 13. Maka jangkauan antarkuartil = 13 - 5 = 8 menit dan simpangan kuartil = 8/2 = 4 menit. Jangkauan seluruh data berbeda: 18 - 2 = 16 menit.

Jangan membagi jangkauan seluruh data menjadi dua untuk mencari simpangan kuartil. Rumusnya memakai selisih Q3 dan Q1, bukan selisih maksimum dan minimum. Pada contoh tabel frekuensi, jangkauan seluruh data adalah 8 - 2 = 6 menit, jangkauan antarkuartil 6 - 4 = 2 menit, dan simpangan kuartil 1 menit.

Nilai ekstrem dan perubahan seluruh data

Jika nilai terbesar 18 pada contoh sepuluh waktu diganti menjadi 40, jangkauan membesar dari 16 menjadi 38. Namun, Q1 tetap 5 dan Q3 tetap 13 karena posisi nilai tengah kedua bagian tidak berubah. Jadi jangkauan antarkuartil tetap 8. Ukuran berdasarkan bagian tengah ini sering lebih tahan terhadap perubahan nilai ekstrem, tetapi tetap dapat berubah bila data atau posisinya berubah.

Jika semua nilai ditambah 3, maksimum, minimum, dan seluruh kuartil ikut bertambah 3. Selisih-selisihnya tetap, sehingga jangkauan dan simpangan kuartil tidak berubah. Jika semua nilai dikalikan 2, jangkauan, jangkauan antarkuartil, serta simpangan kuartil menjadi dua kali semula. Pernyataan perkalian ini menggunakan faktor positif, sehingga urutan data tetap.

Ketika satu pengamatan dihapus atau ditambahkan, tentukan kembali banyak data dan urutannya. Penghapusan nilai maksimum dapat mengubah jangkauan, tetapi penghapusan nilai di tengah belum tentu mengubahnya. Kuartil harus dihitung ulang karena posisi pembagi data dapat bergeser.

Membandingkan kelompok dengan hati-hati

Jika dua kelompok dicatat dengan satuan dan cara pengukuran sama, jangkauan antarkuartil yang lebih kecil menunjukkan bagian tengah data lebih rapat. Hal itu tidak otomatis berarti kelompok tersebut lebih baik dalam segala hal. Bandingkan pula pusat data, jumlah pengamatan, tujuan pengukuran, dan apakah datanya mewakili kelompok yang dibahas.

Data dari satu kelas hanya langsung menggambarkan kelas yang dicatat. Jangan menyimpulkan semua sekolah memiliki keadaan sama hanya dari satu kelompok kecil. Sebutkan satuan dan lingkup pengamatan saat menulis kesimpulan.

Cek pemahaman

1. Tentukan jangkauan data 11, 5, 8, 17, 9.
2. Tentukan Q1, Q2, dan Q3 data 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15.
3. Jika Q1 = 12 dan Q3 = 20, tentukan jangkauan antarkuartil dan simpangan kuartil.
4. Apakah menambahkan 5 pada semua pengamatan mengubah jangkauan?
5. Jika seluruh data bernilai 6, berapa jangkauan dan simpangan kuartilnya?

Pembahasan

1. Maksimum 17 dan minimum 5, sehingga jangkauan = 12.
2. Q2 = (7 + 9)/2 = 8. Median bagian bawah adalah (3 + 5)/2 = 4 dan median bagian atas adalah (11 + 13)/2 = 12. Jadi Q1 = 4 dan Q3 = 12.
3. Jangkauan antarkuartil = 20 - 12 = 8. Simpangan kuartil = 8/2 = 4.
4. Tidak, karena maksimum dan minimum sama-sama bertambah 5 sehingga selisihnya tetap.
5. Jangkauan nol. Seluruh kuartil juga 6, sehingga simpangan kuartil (6 - 6)/2 = 0.

Ringkasan

Jangkauan memakai selisih nilai terbesar dan terkecil. Tentukan kuartil dari data terurut dengan aturan pembagian yang konsisten. Q2 adalah median, Q1 adalah median bagian bawah, dan Q3 median bagian atas. Jangkauan antarkuartil adalah Q3 - Q1, sedangkan simpangan kuartil setengahnya. Gunakan ukuran pusat dan penyebaran bersama-sama untuk membaca data.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan, data hipotetis, dan contoh baru berdasarkan Bab 6 bagian B, Matematika untuk SMP/MTs Kelas VIII (2022), halaman 278-284 (halaman PDF 298-304).