Pengertian Kemiringan - Matematika Kelas 8 SMP

Tujuan belajar

Kamu akan menghitung kemiringan atau gradien, menentukan persamaan garis dari informasi titik, serta mengenali hubungan garis sejajar dan tegak lurus. Kamu juga akan menafsirkan gradien sebagai laju perubahan beserta satuannya.

Kemiringan sebagai perbandingan perubahan

Bayangkan bergerak dari satu titik ke titik lain pada suatu garis. Perubahan mendatar adalah perubahan x, sedangkan perubahan tegak adalah perubahan y. Gradien membandingkan keduanya:

m = perubahan y / perubahan x = (y2 - y1)/(x2 - x1), dengan x2 tidak sama dengan x1.

Untuk A(1, 2) dan B(4, 8), perubahan y adalah 8 - 2 = 6 dan perubahan x adalah 4 - 1 = 3. Jadi m = 6/3 = 2. Artinya, setiap bergerak satu satuan ke kanan, posisi pada garis naik dua satuan. Perubahan x dan y bukan panjang ruas miring AB. Panjang AB tidak dipakai sebagai penyebut rumus gradien.

Urutan pengurangan harus konsisten. Jika titik B ditulis lebih dahulu di pembilang, titik B juga harus lebih dahulu di penyebut. Membalik kedua urutan memberi (2 - 8)/(1 - 4) = (-6)/(-3) = 2. Membalik hanya satu urutan menghasilkan tanda yang salah.

Gradien positif, negatif, dan nol

Baca arah garis dari kiri ke kanan. Garis yang naik memiliki gradien positif, sedangkan garis yang turun memiliki gradien negatif. Pada titik P(1, 5) dan Q(3, 1), m = (1 - 5)/(3 - 1) = -4/2 = -2. Setiap x bertambah satu, y berkurang dua.

Persamaan	Gradien	Sifat grafik
y = 2x + 1	2	Naik dari kiri ke kanan
y = -3x + 2	-3	Turun dari kiri ke kanan
y = 4	0	Mendatar
x = -2	Tidak terdefinisi	Tegak

Pada garis mendatar, dua titik berbeda memiliki perubahan y = 0 dan perubahan x bukan nol, sehingga m = 0. Pada garis tegak, perubahan x = 0. Pembagian dengan nol tidak terdefinisi, sehingga gradien garis tegak bukan nol dan tidak diperlakukan sebagai bilangan tak hingga dalam rumus ini.

Untuk membandingkan kecuraman, gunakan nilai mutlak gradien jika satuan dan skala sumbu yang dibandingkan sama. Garis bergradien -3 lebih curam daripada garis bergradien 1 karena 3 lebih besar daripada 1; tanda negatif hanya menunjukkan arah turun. Mengubah skala gambar dapat mengubah tampilan kemiringan di kertas, sehingga perhatikan label sumbunya.

Mengambil gradien dari persamaan

Pada y = mx + c, koefisien x adalah gradien dan c adalah nilai y saat x = 0. Jadi y = -2x + 7 memiliki gradien -2 dan memotong sumbu y di (0, 7). Konstanta c bukan gradien.

Jika persamaan belum berbentuk demikian, susun ulang dahulu. Dari 2x + 3y - 6 = 0 diperoleh 3y = -2x + 6, lalu y = (-2/3)x + 2. Gradiennya -2/3, bukan 2 atau 3. Secara umum, Ax + By + C = 0 mempunyai gradien -A/B jika B bukan nol. Jika B = 0 dan A bukan nol, garisnya tegak.

Persamaan yang dikalikan konstanta bukan nol menyatakan garis yang sama. Misalnya y = 2x + 1 dan 2y = 4x + 2 berimpit karena setelah disederhanakan keduanya identik. Bentuk tulisan yang berbeda belum tentu berarti garis berbeda.

Persamaan melalui satu titik dengan gradien diketahui

Jika garis melalui (x1, y1) dan bergradien m, gunakan y - y1 = m(x - x1). Contoh: garis bergradien 3 melalui (2, 5).

1. Substitusikan informasi: y - 5 = 3(x - 2).
2. Kembangkan: y - 5 = 3x - 6.
3. Tambahkan 5 pada kedua ruas: y = 3x - 1.
4. Periksa titik: 3(2) - 1 = 5, sesuai.

Saat titik mempunyai koordinat negatif, tulis tanda kurung dengan cermat. Garis bergradien -2 melalui (-1, 4) memenuhi y - 4 = -2(x + 1), sehingga y = -2x + 2. Bentuk x - (-1) menjadi x + 1.

Cara lain memakai y = mx + c. Substitusikan koordinat titik untuk mencari c, lalu tuliskan persamaan lengkap. Untuk contoh pertama, 5 = 3(2) + c memberi c = -1. Kedua cara menghasilkan garis yang sama.

Persamaan melalui dua titik berbeda

Untuk titik (0, 1) dan (2, 5), hitung dahulu m = (5 - 1)/(2 - 0) = 2. Pakai titik (0, 1): y - 1 = 2(x - 0), sehingga y = 2x + 1. Substitusikan titik kedua: 5 = 2(2) + 1, benar.

Jika kedua titik memiliki koordinat x yang sama, tuliskan langsung persamaan garis tegaknya. Titik (3, -1) dan (3, 5) menentukan x = 3. Rumus gradien biasa tidak dapat dipakai karena penyebutnya nol. Jika kedua titik sebenarnya sama, informasi belum cukup untuk menentukan satu garis.

Gradien juga dapat digunakan untuk mencari koordinat yang belum diketahui. Jika garis melalui (1, 2) dan (3, k) bergradien 3, maka (k - 2)/(3 - 1) = 3. Jadi k - 2 = 6 dan k = 8. Periksa kembali: (8 - 2)/2 = 3.

Garis sejajar dan garis berimpit

Dua garis berbeda yang tidak tegak dan memiliki gradien sama adalah sejajar. Misalnya y = 2x + 1 dan y = 2x - 3 sama-sama bergradien 2 tetapi mempunyai titik potong sumbu y berbeda. Kedua garis tidak berpotongan.

Untuk menentukan garis sejajar y = 2x - 3 yang melalui (1, 4), gunakan m = 2. Maka y - 4 = 2(x - 1), sehingga y = 2x + 2. Periksa titik dan gradiennya.

Jika gradien dan konstanta c sama, kedua persamaan menyatakan garis berimpit, bukan dua garis sejajar yang berbeda. Untuk garis tegak, x = 1 dan x = 4 merupakan dua garis sejajar walaupun gradien keduanya tidak terdefinisi.

Garis tegak lurus

Untuk dua garis yang gradiennya terdefinisi dan bukan nol, syarat tegak lurus adalah m1 x m2 = -1. Jadi pasangan gradiennya saling berkebalikan dengan tanda berlawanan. Jika m1 = 2, maka m2 = -1/2. Pasangan 2 dan -2 tidak memenuhi syarat karena hasil kalinya -4.

Contoh: cari garis melalui (2, 3) yang tegak lurus y = 2x + 1. Gradien garis baru -1/2. Gunakan y - 3 = (-1/2)(x - 2), sehingga y = (-1/2)x + 4. Cek: (-1/2)(2) + 4 = 3, dan 2 x (-1/2) = -1.

Garis mendatar dan garis tegak juga saling tegak lurus. Pasangan ini ditangani langsung dari arahnya, karena gradien garis tegak tidak terdefinisi dan tidak dapat dimasukkan ke perkalian gradien.

Gradien dalam model perubahan

Dalam suatu percobaan hipotetis, tangki mula-mula berisi 20 liter dan mendapat aliran tetap 3 liter per menit. Selama belum penuh, modelnya V(t) = 20 + 3t, dengan t dalam menit dan V dalam liter. Gradien 3 bersatuan liter per menit; konstanta 20 bersatuan liter dan menyatakan volume awal.

Dari menit ke-2 hingga menit ke-5, volume berubah dari 26 menjadi 35 liter. Perbandingan (35 - 26)/(5 - 2) = 9/3 = 3 tetap sama. Gradien menyatakan perubahan per satuan waktu, bukan total volume.

Jika kapasitas tangki 80 liter, model pengisian ini berlaku dari t = 0 sampai t = 20 menit karena 20 + 3(20) = 80. Setelah penuh, rumus yang sama tidak dapat terus dipakai untuk volume air yang tertampung. Selalu periksa satuan, arah perubahan, dan batas model sebelum menafsirkan hasil.

Cek pemahaman

1. Tentukan gradien melalui (-2, 1) dan (2, 9).
2. Tentukan gradien 4x + 2y = 10.
3. Cari persamaan garis bergradien -1 melalui (2, 3).
4. Apakah y = 3x + 2 dan y = 3x - 4 sejajar?
5. Berapa gradien garis yang tegak lurus terhadap garis bergradien -2/3?
6. Apa perbedaan gradien garis y = -2 dan x = -2?

Pembahasan

1. m = (9 - 1)/(2 - (-2)) = 8/4 = 2.
2. y = -2x + 5, sehingga gradiennya -2.
3. y - 3 = -(x - 2), sehingga y = -x + 5.
4. Ya. Gradien sama, yaitu 3, tetapi titik potong sumbu y berbeda.
5. 3/2 karena (-2/3) x (3/2) = -1.
6. y = -2 mendatar dengan gradien nol. x = -2 tegak dengan gradien tidak terdefinisi.

Ringkasan

Gradien adalah perubahan y dibagi perubahan x dengan urutan pengurangan yang konsisten. Gunakan y - y1 = m(x - x1) untuk membentuk persamaan garis. Dua garis sejajar memiliki gradien sama jika keduanya tidak tegak; dua garis tegak lurus memiliki hasil kali gradien -1 jika gradien keduanya terdefinisi dan bukan nol. Tangani garis mendatar dan tegak secara khusus, lalu periksa setiap jawaban dengan substitusi titik.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan dan contoh baru berdasarkan Bab 5 bagian B, Matematika untuk SMP/MTs Kelas VIII (2022), halaman 223-250 (halaman PDF 243-270).