Pemusatan Data - Matematika Kelas 8 SMP

Tujuan belajar

Kamu akan menentukan modus, median, dan rata-rata dari data tunggal maupun tabel frekuensi. Kamu juga akan memilih ukuran pemusatan sesuai pertanyaan, menghitung rata-rata gabungan, dan mencari data yang belum diketahui.

Mengapa data perlu diringkas?

Daftar hasil pengamatan dapat panjang dan sulit dibandingkan. Ukuran pemusatan membantu merangkum letak pusat data menjadi suatu nilai. Tiga ukuran yang dipelajari adalah modus, median, dan rata-rata atau mean. Ketiganya menjawab pertanyaan berbeda, sehingga tidak selalu sama dan tidak ada satu ukuran yang selalu paling tepat untuk semua keadaan.

Gunakan data dengan arti dan satuan yang jelas. Nilai ulangan, jumlah buku, dan waktu membaca merupakan jenis pengukuran berbeda. Sebelum menghitung, periksa apakah semua pengamatan sudah tercatat dan apakah ada catatan ganda. Data kosong tidak otomatis bernilai nol; nol adalah hasil pengamatan yang sah jika memang tidak ada benda atau kegiatan yang dihitung.

Modus: nilai yang paling sering muncul

Modus adalah nilai atau kategori dengan frekuensi terbesar. Pada data 6, 7, 7, 8, 9, nilai 7 muncul dua kali, sedangkan nilai lain sekali. Jadi modusnya 7. Modus bukan nilai terbesar; angka 9 paling besar tetapi tidak paling sering muncul.

Pada data 4, 4, 6, 6, 8 terdapat dua modus, yaitu 4 dan 6. Keduanya sama-sama memiliki frekuensi tertinggi. Untuk latihan data tunggal di sini, jika semua nilai berbeda dan masing-masing muncul sekali, kita menyatakan tidak ada modus. Jika semua pengamatan bernilai 5, modusnya 5 karena nilai itu muncul pada semua pengamatan.

Modus dapat digunakan pada kategori yang tidak memiliki arti hitung rata-rata, misalnya jenis permainan favorit. Namun, nama hari dengan penjualan tertinggi berbeda maknanya dari modus jumlah penjualan harian. Jika penjualan lima hari adalah 10, 12, 10, 15, 13 buku, modus jumlah penjualan adalah 10 buku. Hari ketika terjual 15 buku adalah hari penjualan terbanyak; angka 15 bukan modus data itu.

Modus pada tabel dan diagram frekuensi

Berikut data banyak buku yang dibaca sepuluh siswa selama satu bulan dalam contoh hipotetis. Setiap siswa dicatat satu kali.

Buku per siswa	Frekuensi siswa	Frekuensi kumulatif	Nilai x frekuensi
1	2	2	2
2	3	5	6
3	4	9	12
4	1	10	4
Jumlah	10	-	24

Batang tertinggi berada pada 3 buku, dengan frekuensi 4 siswa. Jadi modusnya 3 buku, bukan 4 siswa. Sumbu mendatar memuat nilai pengamatan dan sumbu tegak memuat banyak siswa yang memiliki nilai itu. Frekuensi kumulatif menunjukkan banyak pengamatan sampai suatu nilai: sampai 2 buku terdapat 2 + 3 = 5 siswa.

Median: nilai tengah setelah diurutkan

Median diperoleh dari posisi tengah setelah data diurutkan dari kecil ke besar. Banyak data dinyatakan dengan n. Untuk n ganjil, posisi median adalah (n + 1)/2. Contohnya data 9, 4, 7, 6, 7 diurutkan menjadi 4, 6, 7, 7, 9. Karena n = 5, median adalah nilai pada posisi ketiga, yaitu 7. Angka 3 merupakan posisi, bukan nilai mediannya.

Untuk n genap, ambil rata-rata dua nilai tengah, yaitu nilai pada posisi n/2 dan n/2 + 1. Data 4, 5, 7, 9, 10, 13 memiliki enam pengamatan. Nilai tengahnya pada posisi ketiga dan keempat, yaitu 7 dan 9. Mediannya (7 + 9)/2 = 8. Median tidak harus menjadi salah satu nilai yang tercatat, tetapi juga bisa sama dengan nilai yang tercatat.

Pada tabel buku, n = 10 sehingga kita mencari pengamatan kelima dan keenam. Frekuensi kumulatif menunjukkan pengamatan ketiga sampai kelima bernilai 2, sedangkan pengamatan keenam sampai kesembilan bernilai 3. Maka median = (2 + 3)/2 = 2,5 buku. Jangan mengambil rata-rata dua baris tengah tanpa memperhatikan frekuensinya.

Rata-rata: jumlah seluruh nilai dibagi banyak pengamatan

Rumus rata-rata adalah jumlah seluruh nilai / banyak pengamatan. Untuk 4, 6, 7, 7, 11, jumlah nilainya 35 dan banyak pengamatannya 5. Jadi rata-ratanya 35/5 = 7. Penyebutnya bukan nilai terbesar atau banyak jenis nilai yang berbeda.

Untuk tabel frekuensi, kalikan setiap nilai dengan frekuensinya, jumlahkan hasil kali, lalu bagi dengan jumlah frekuensi. Dari tabel buku diperoleh jumlah 1(2) + 2(3) + 3(4) + 4(1) = 24 buku untuk 10 siswa. Jadi rata-ratanya 24/10 = 2,4 buku per siswa. Hasil desimal merupakan ringkasan kelompok; tidak berarti seorang siswa harus membaca tepat 2,4 buku.

Rata-rata dapat dipahami sebagai pembagian sama rata dari jumlah keseluruhan. Nilainya berada di antara nilai terkecil dan terbesar jika pengamatannya berupa bilangan real. Jika hasil hitungan berada di luar rentang itu, periksa kembali jumlah, frekuensi, dan pembaginya.

Pengaruh nilai ekstrem dan pilihan ukuran

Bandingkan data A: 4, 5, 5, 6, 10 dengan data B: 4, 5, 5, 6, 30. Rata-rata A adalah 30/5 = 6, sedangkan rata-rata B adalah 50/5 = 10. Median dan modus keduanya tetap 5. Mengubah satu nilai paling besar dapat menggeser rata-rata cukup jauh, sementara median pada contoh ini tetap.

Jika ingin mengetahui nilai yang paling sering, gunakan modus. Jika ingin mengetahui posisi tengah data terurut, gunakan median. Jika ingin membagi jumlah keseluruhan secara merata, gunakan rata-rata. Saat data memiliki nilai ekstrem, median sering membantu menggambarkan pusat tanpa terlalu terpengaruh oleh besarnya nilai ekstrem tersebut. Tetap lihat seluruh data dan konteksnya.

Rata-rata dan modus saja biasanya belum cukup untuk menentukan median secara unik. Jangan memakai aturan urutan rata-rata, median, dan modus sebagai rumus yang selalu berlaku. Urutannya bergantung pada data yang sebenarnya.

Mencari nilai yang belum diketahui

Rata-rata empat nilai adalah 8. Tiga nilainya 6, 8, dan 9. Jumlah keempat nilai harus 4 x 8 = 32, sedangkan jumlah tiga nilai yang diketahui 23. Jadi nilai yang belum diketahui adalah 32 - 23 = 9.

Jika lima siswa memiliki rata-rata 70, jumlah nilainya 350. Setelah satu siswa dengan nilai 88 bergabung, rata-rata baru menjadi (350 + 88)/6 = 438/6 = 73. Banyak pengamatan pada penyebut harus ikut berubah. Jika suatu pengamatan dikeluarkan, kurangkan nilainya dari jumlah awal dan kurangkan satu dari banyak data.

Rata-rata gabungan

Kelompok A terdiri dari 10 siswa dengan rata-rata 70. Kelompok B terdiri dari 20 siswa dengan rata-rata 85. Jumlah nilai A adalah 700 dan jumlah nilai B adalah 1700. Rata-rata gabungan = (700 + 1700)/(10 + 20) = 80.

Menghitung (70 + 85)/2 = 77,5 tidak tepat karena banyak anggota kedua kelompok berbeda. Rata-rata tiap kelompok harus diberi bobot sesuai banyak anggotanya. Cara mengambil rata-rata kedua rata-rata langsung berlaku ketika ukuran kelompok sama.

Cek pemahaman

1. Tentukan modus data 3, 4, 4, 6, 6, 8.
2. Tentukan median data 8, 2, 7, 5, 4, 10.
3. Tentukan rata-rata data 5, 7, 8, 12.
4. Mengapa modus pada tabel buku adalah 3, bukan 4?
5. Rata-rata tiga nilai adalah 9. Dua nilainya 8 dan 10. Berapa nilai ketiga?

Pembahasan

1. Modusnya 4 dan 6; keduanya muncul dua kali.
2. Urutannya 2, 4, 5, 7, 8, 10. Median = (5 + 7)/2 = 6.
3. Jumlahnya 32, sehingga rata-rata = 32/4 = 8.
4. Angka 3 adalah nilai yang paling sering diamati. Angka 4 merupakan frekuensi siswa yang membaca 3 buku.
5. Jumlah tiga nilai 27. Nilai ketiga = 27 - 8 - 10 = 9.

Ringkasan

Modus menunjukkan nilai yang paling sering muncul. Median menunjukkan nilai tengah setelah data diurutkan. Rata-rata diperoleh dengan membagi jumlah seluruh nilai dengan banyak pengamatan. Tabel frekuensi perlu memperhitungkan banyak kemunculan setiap nilai. Pilih ukuran sesuai tujuan dan gunakan jumlah nilai saat menghitung gabungan atau mencari nilai yang belum diketahui.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan, data hipotetis, dan contoh baru berdasarkan Bab 6 bagian A, Matematika untuk SMP/MTs Kelas VIII (2022), halaman 259-278 (halaman PDF 279-298).