Luas Permukaan Bangun Ruang Sisi Lengkung - Matematika Kelas 9 SMP

Tujuan belajar

Kamu akan menghitung luas permukaan tabung, kerucut, dan bola serta membedakan permukaan tertutup, selimut, dan permukaan terbuka. Kamu juga akan memakai Pythagoras untuk garis pelukis serta menentukan bagian luar bangun gabungan.

Peran lingkaran dan selimut

Tabung dan kerucut memiliki alas lingkaran. Luas alasnya pi r^2 dan kelilingnya 2 pi r. Pada materi ini, pi dapat dipertahankan sebagai bentuk eksak; 22/7 dan 3,14 dipakai sebagai pendekatan jika diminta soal. Tanda ^ berarti pangkat.

Selimut adalah bagian permukaan samping. Luas permukaan total menambahkan semua bidang pembatas yang ada. Karena itu, rumus untuk wadah terbuka dapat berbeda dari rumus bangun tertutup meskipun ukuran jari-jari dan tingginya sama.

Tabung tertutup dan jaring-jaringnya

Tabung tegak memiliki dua lingkaran kongruen serta satu selimut yang bila dibuka menjadi persegi panjang. Panjang persegi panjang sama dengan keliling alas 2 pi r dan lebarnya sama dengan tinggi tabung t. Jadi luas selimut = 2 pi rt dan luas total = 2 pi r^2 + 2 pi rt.

Contoh r = 7 cm, t = 10 cm, pi = 22/7. Luas satu lingkaran 154 cm persegi, sehingga kedua penutup 308 cm persegi. Luas selimut = 44 x 10 = 440 cm persegi. Luas total 308 + 440 = 748 cm persegi.

Bagian yang dihitung	Luas untuk r = 7 cm, t = 10 cm
Selimut saja	440 cm persegi
Selimut dan satu alas	594 cm persegi
Selimut dan dua penutup	748 cm persegi

Untuk wadah tanpa tutup, gunakan satu alas dan selimut. Untuk pipa tipis yang hanya diminta permukaan samping luarnya, gunakan selimut saja. Pipa berdinding tebal yang seluruh permukaannya dihitung memerlukan pula sisi dalam dan dua cincin ujung; jangan menyamakan kedua model itu.

Kerucut dan garis pelukis

Kerucut tegak memiliki jari-jari alas r, tinggi t, dan garis pelukis s. Tinggi berada dari puncak tegak lurus ke pusat alas, sedangkan s mengikuti permukaan dari puncak ke tepi alas. Keduanya membentuk segitiga siku-siku dengan r, sehingga s^2 = r^2 + t^2.

Pada contoh gambar, s = akar dari (25 + 144) = 13 cm. Jangan menggunakan t = 12 sebagai garis pelukis saat menghitung selimut. Pada jaring-jaring kerucut, selimut berbentuk juring yang jari-jarinya s, bukan r. Panjang busur juringnya sama dengan keliling alas, yaitu 2 pi r.

Bagian luas juring selimut terhadap lingkaran penuh berjari-jari s sama dengan (2 pi r)/(2 pi s) = r/s. Maka luas selimut = (r/s) x pi s^2 = pi rs. Jika kerucut tertutup, tambahkan alas: L = pi r^2 + pi rs = pi r(r + s).

Untuk r = 5 cm dan s = 13 cm, selimutnya 65 pi cm persegi dan luas totalnya 90 pi cm persegi. Jika pi = 3,14, hasilnya 204,1 dan 282,6 cm persegi. Kerucut tanpa alas hanya memakai 65 pi. Sudut juring pembentuk selimut dapat dicari dari (r/s) x 360 derajat; busur dan jari-jari juring harus cocok agar kerucut menutup tepat.

Bola dan setengah bola

Bola berjari-jari r memiliki luas permukaan = 4 pi r^2. Luasnya empat kali luas lingkaran dengan jari-jari yang sama, bukan empat kali keliling. Bola dengan r = 7 cm dan pi = 22/7 mempunyai luas 616 cm persegi.

Permukaan lengkung setengah bola adalah setengah permukaan bola, yaitu 2 pi r^2. Jika setengah bola ditutup bidang lingkaran pada potongannya, luas totalnya menjadi 3 pi r^2. Untuk r = 7 cm, bagian lengkung 308 cm persegi dan total tertutup 462 cm persegi.

Permukaan bola tidak dapat dibuka menjadi jaring-jaring datar tepat tanpa peregangan. Rumus luasnya tetap dapat dipelajari melalui pendekatan pemotongan kulit bola atau pembandingan luas dengan beberapa lingkaran; hasil eksperimen merupakan ilustrasi, bukan berarti ada empat lingkaran yang dapat langsung dilipat menjadi bola.

Bangun gabungan dan bidang sambungan

Misalkan setengah bola berjari-jari 7 cm ditempelkan di atas tabung berjari-jari sama dan tinggi 10 cm. Tabung mempunyai satu alas bawah tertutup. Permukaan luarnya terdiri dari selimut tabung, lengkung setengah bola, dan alas bawah. Lingkaran pertemuan di bagian atas tabung tidak dihitung karena berada di dalam.

Dengan pi = 22/7, luas luar = 440 + 308 + 154 = 902 cm persegi. Menjumlahkan luas tabung tertutup dan setengah bola tertutup akan menghitung dua bidang sambungan yang tersembunyi. Buat daftar permukaan luar sebelum memakai rumus.

Jika soal menghitung bahan pelapis, hasil geometri belum memperhitungkan sambungan atau sisa potongan kecuali disebutkan. Jika satu lembar hanya dapat menutup luas tertentu, bagi kebutuhan total dengan kapasitas lembar lalu bulatkan ke atas untuk banyak lembar utuh yang dibutuhkan.

Skala dan satuan

Jika semua ukuran panjang bangun dikalikan k positif, semua luas permukaan menjadi k^2 kali awal. Kerucut yang r dan t-nya digandakan juga mempunyai s dua kali semula; luas pi rs menjadi empat kali. Jika hanya tinggi diubah, hitung s baru dan jangan langsung memakai faktor empat.

Contoh bola berluas 616 cm persegi diperkecil dengan skala 1/2. Luas barunya (1/2)^2 x 616 = 154 cm persegi. Satuan tetap persegi. Jika diperlukan m persegi, gunakan 1 m persegi = 10000 cm persegi, bukan 100 cm persegi.

Cek pemahaman

1. Tabung r = 7 cm, t = 5 cm tanpa tutup memiliki luas berapa jika pi = 22/7?
2. Kerucut r = 3 cm, t = 4 cm memiliki garis pelukis berapa?
3. Nyatakan luas total kerucut soal kedua dalam pi.
4. Nyatakan luas setengah bola tertutup berjari-jari 3 cm dalam pi.

Pembahasan

1. Alas 154 ditambah selimut 220 menghasilkan 374 cm persegi.
2. s^2 = 9 + 16 = 25, jadi s = 5 cm.
3. pi(3^2) + pi(3)(5) = 24 pi cm persegi.
4. 3 pi(3^2) = 27 pi cm persegi; lingkaran penutup ikut dihitung.

Ringkasan

Tabung tertutup memakai dua lingkaran dan selimut. Kerucut tertutup memakai alas pi r^2 dan selimut pi rs, dengan s garis pelukis. Bola memiliki luas 4 pi r^2. Periksa bagian terbuka dan bidang sambungan; perubahan skala seragam k mengubah luas dengan faktor k^2.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan, ilustrasi, dan contoh baru berdasarkan Bab 2 bagian E, Matematika untuk SMP/MTs Kelas IX (2022), halaman 97-110 (halaman PDF 117-130).