Volume Bangun Ruang Sisi Lengkung - Matematika Kelas 9 SMP

Tujuan belajar

Kamu akan menghitung volume tabung, kerucut, dan bola, membandingkan bangun dengan ukuran terkait, serta menentukan volume gabungan atau rongga. Kamu juga akan memakai ukuran bagian dalam untuk kapasitas dan membedakan perubahan satu dimensi dari perubahan skala seragam.

Tabung: luas alas kali tinggi

Volume tabung adalah V = pi r^2 t, dengan r jari-jari alas dan t tinggi tegak lurus alas. Alasnya memiliki luas pi r^2; tiap lapisan sejajar alas memiliki luas yang sama. Prinsip ini serupa dengan rumus volume prisma.

Tabung dengan r = 7 cm dan t = 12 cm mempunyai V = pi x 49 x 12 = 588 pi cm kubik. Jika dipakai pendekatan pi = 22/7, volumenya 1848 cm kubik. Jika diketahui diameter 14 cm, ubah dahulu menjadi r = 7 cm sebelum menguadratkan. Tanda ^ pada rumus berarti pangkat.

Jika volume tabung 600 pi cm kubik dan r = 5 cm, tingginya t = V/(pi r^2) = 600 pi/(25 pi) = 24 cm. Faktor pi dapat dicoret karena sama pada pembilang dan penyebut; tidak perlu mengubahnya ke desimal lebih dahulu.

Kerucut dan perbandingannya dengan tabung

Kerucut dengan luas alas dan tinggi yang sama dengan suatu tabung memiliki sepertiga volumenya. Rumusnya V = (1/3) pi r^2 t. Faktor sepertiga tidak berlaku untuk luas permukaan; jangan menyalin hubungan volume ke rumus luas.

Pada ilustrasi, volume tabung = pi x 9 x 4 = 36 pi cm kubik dan volume kerucut = (1/3) x pi x 9 x 4 = 12 pi cm kubik. Dibutuhkan tiga volume kerucut yang sama untuk mengisi tabung tersebut penuh. Jika salah satu bangun mempunyai tinggi berbeda, hitung ulang perbandingannya.

Gunakan tinggi tegak lurus, bukan garis pelukis. Kerucut dengan r = 5 cm dan garis pelukis 13 cm mempunyai t dari Pythagoras: t^2 = 13^2 - 5^2 = 144, sehingga t = 12 cm. Volumenya (1/3) x pi x 25 x 12 = 100 pi cm kubik.

Bola dan setengah bola

Bola berjari-jari r memiliki V = (4/3) pi r^3. Setengah bola mempunyai volume (2/3) pi r^3. Bola r = 3 cm memiliki V = (4/3) x pi x 27 = 36 pi cm kubik. Setengahnya bervolume 18 pi cm kubik.

Secara intuitif, satu setengah bola r dapat menampung dua volume kerucut yang r alas dan tingginya sama-sama r. Kerucut itu bervolume (1/3) pi r^3, sehingga setengah bola bervolume (2/3) pi r^3. Bola penuh dua kali setengah bola. Saat memakai perbandingan ini, pastikan seluruh ukuran yang disyaratkan sama.

Bola r yang tepat masuk tabung dengan r alas sama dan tinggi 2r mempunyai volume (4/3) pi r^3, sedangkan tabung 2 pi r^3. Perbandingan volume bola terhadap tabung adalah 2 : 3. Ruang tabung di luar bola adalah sepertiga volume tabung, bukan sepertiga volume bola.

Gabungan tanpa tumpang tindih

Tabung r = 3 cm, tinggi 4 cm diberi penutup setengah bola r = 3 cm. Volume gabungannya adalah volume tabung ditambah setengah bola: 36 pi + 18 pi = 54 pi cm kubik. Bidang lingkaran tempat keduanya bertemu tidak mempunyai ketebalan, sehingga penjumlahan volume tidak mengurangi bidang sambungan seperti pada perhitungan luas permukaan.

Untuk model kerucut yang berada di dalam prisma persegi, volume ruang tersisa dihitung dengan pengurangan. Jika prisma beralas 6 x 6 cm dan tinggi 4 cm, volumenya 144 cm kubik. Kerucut r = 3 cm dan tinggi 4 cm di dalamnya bervolume 12 pi cm kubik. Sisa ruang = 144 - 12 pi cm kubik, sekitar 106,32 jika pi = 3,14.

Volume bahan dan rongga

Sebuah pipa memiliki jari-jari luar R = 5 cm, jari-jari dalam r = 3 cm, dan panjang 10 cm. Volume bahan pipa merupakan tabung luar dikurangi rongga tabung dalam: V = pi(R^2 - r^2)t. Nilainya pi(25 - 9)(10) = 160 pi cm kubik.

Kapasitas rongganya berbeda, yaitu pi x 3^2 x 10 = 90 pi cm kubik. Ketebalan dinding = R - r = 2 cm, tetapi luas penampang bahan bukan pi x 2^2. Selisih kuadrat perlu dipertahankan: R^2 - r^2 = (R - r)(R + r).

Untuk cangkang bola dengan jari-jari luar R dan dalam r, volume bahan adalah (4/3) pi(R^3 - r^3). Jika R = 3 cm dan r = 2 cm, volumenya (4/3) pi(27 - 8) = (76/3) pi cm kubik. Rumus tersebut berbeda dari volume bola berjari-jari sama dengan ketebalan dinding.

Kapasitas dan kenaikan permukaan air

Untuk volume air dalam tabung, gunakan jari-jari bagian dalam dan tinggi air, bukan tinggi seluruh wadah jika belum penuh. Tabung dengan r dalam 7 cm dan kedalaman air 20 cm memiliki volume 980 pi cm kubik. Dengan pi = 22/7, hasilnya 3080 cm kubik = 3,08 liter.

Jika suatu benda padat sepenuhnya terendam tanpa air tumpah, volume air yang dipindahkan sama dengan volume bagian benda yang terendam. Pada wadah tabung berluas alas A, kenaikan permukaan air adalah volume benda terendam / A. Untuk A = 100 cm persegi dan volume terendam 250 cm kubik, kenaikannya 2,5 cm. Syarat terendam dan tidak tumpah harus diperiksa; jangan menganggap seluruh volume benda memindahkan air jika sebagian masih di atas permukaan.

Perubahan skala dan konversi

Jika seluruh panjang dikalikan k positif, volume berubah k^3 kali semula. Bola dengan jari-jari dua kali mempunyai volume delapan kali. Jika semua ukuran tabung diperkecil menjadi 3/4 kali, volumenya (3/4)^3 = 27/64 kali volume awal.

Jika hanya jari-jari tabung digandakan dan tingginya tetap, volumenya menjadi empat kali, karena hanya r yang dikuadratkan. Jika hanya tinggi digandakan, volume menjadi dua kali. Tuliskan apa yang berubah sebelum menentukan faktor volume.

Gunakan 1 liter = 1000 cm kubik dan 1 m kubik = 1000 liter. Pertahankan pi sampai tahap akhir jika memungkinkan untuk mengurangi kesalahan pembulatan. Kapasitas geometris menyatakan ruang bagian dalam; ketebalan dinding atau bentuk sambungan harus dimodelkan jika memengaruhi ukurannya.

Cek pemahaman

1. Tentukan volume tabung r = 3 cm dan t = 5 cm dalam pi.
2. Tentukan volume kerucut dengan ukuran r dan t yang sama.
3. Tentukan volume bola r = 6 cm dalam pi.
4. Jika semua panjang menjadi setengahnya, berapa faktor perubahan volume?
5. Apakah volume bahan pipa sama dengan kapasitas rongganya?

Pembahasan

1. pi x 9 x 5 = 45 pi cm kubik.
2. Sepertiga volume tabung, yaitu 15 pi cm kubik.
3. (4/3) x pi x 216 = 288 pi cm kubik.
4. (1/2)^3 = 1/8 dari volume awal.
5. Tidak. Volume bahan adalah selisih volume luar dan rongga; kapasitas hanya volume bagian dalam.

Ringkasan

Tabung memakai pi r^2 t, kerucut sepertiganya untuk r dan t sama, serta bola memakai (4/3) pi r^3. Jumlahkan bagian gabungan tanpa tumpang tindih atau kurangkan rongga. Gunakan tinggi tegak lurus, periksa ukuran dalam, satuan kapasitas, dan faktor k^3 untuk perubahan skala seragam.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan, ilustrasi, dan contoh baru berdasarkan Bab 2 bagian F, Matematika untuk SMP/MTs Kelas IX (2022), halaman 111-125 (halaman PDF 131-145).