Dilatasi - Matematika Kelas 9 SMP

Tujuan belajar

Kamu akan menentukan bayangan dilatasi pada berbagai pusat, menafsirkan faktor negatif, dan menghitung perubahan panjang, keliling, serta luas.

Pusat dan faktor skala

Dilatasi mengubah jarak titik terhadap pusat dengan faktor skala. Untuk pusat C, hubungan vektornya $\overrightarrow{CP'}=k\overrightarrow{CP}$. Dalam materi ini digunakan $k\ne0$ agar bangun tidak runtuh menjadi satu titik.

Jika k positif, titik dan bayangannya berada pada arah yang sama dari pusat. Jika k negatif, keduanya berada pada arah berlawanan. Perbandingan panjang adalah $\frac{CP'}{CP}=|k|$ untuk $P\ne C$, bukan k yang mungkin negatif. Pusat C sendiri tetap.

Faktor	Perubahan ukuran
$|k|>1$	Diperbesar
$0<|k|<1$	Diperkecil
$k=1$	Setiap titik tetap
$k=-1$	Ukuran tetap, sama dengan rotasi $180^\circ$ terhadap pusat

Dilatasi menghasilkan bangun sebangun. Umumnya bangun tidak kongruen jika $|k|\ne1$. Faktor negatif bukan berarti panjang sisi menjadi negatif dan bukan berarti pencerminan terhadap satu garis.

Pusat di titik asal

Untuk pusat $O(0,0)$, aturannya $(x,y)\mapsto(kx,ky)$. Titik $(2,-3)$ dengan $k=3$ menjadi $(6,-9)$. Titik $(-4,6)$ dengan $k=\frac12$ menjadi $(-2,3)$. Untuk $k=-2$, titik $(3,-2)$ menjadi $(-6,4)$.

Pada gambar, semua koordinat dikalikan 2. Hubungkan pusat dengan titik dan bayangannya untuk memeriksa arah. Seluruh bangun memakai pusat serta faktor yang sama. Mengubah hanya salah satu koordinat biasanya bukan dilatasi seragam.

Pusat selain titik asal

Untuk pusat $C(a,b)$, kurangkan pusat dari koordinat titik, kalikan k, lalu tambahkan pusat kembali. Rumusnya $(x,y)\mapsto(a+k(x-a),b+k(y-b))$.

Pusat $(1,2)$, titik $(3,5)$, dan faktor 2 memberi posisi relatif $(2,3)$. Setelah diperbesar menjadi $(4,6)$, tambahkan pusat: bayangannya $(5,8)$. Mengalikan koordinat awal langsung menjadi $(6,10)$ akan memakai pusat O yang berbeda.

Untuk mencari faktor, gunakan satu titik yang bukan pusat. Jika pusat O membawa $(2,3)$ ke $(6,9)$, diperoleh $k=3$ dari kedua koordinat. Jika satu koordinat awal nol, gunakan koordinat lain yang bukan nol. Pusat selalu tetap untuk setiap k, sehingga pasangan pusat dengan dirinya saja tidak menentukan faktor.

Panjang, keliling, dan luas

Semua panjang dan keliling dikalikan $|k|$, sedangkan luas dikalikan $k^2$. Sisi 5 cm dengan $k=-2$ menjadi 10 cm. Bangun berluas 12 cm persegi dengan $k=3$ menjadi $9\times12=108$ cm persegi.

Jika $k=\frac12$, keliling 28 cm menjadi 14 cm dan luas menjadi seperempat semula. Jangan memakai faktor panjang langsung untuk luas. Besar sudut tetap, sehingga bentuk terjaga meskipun ukuran dapat berubah.

Bayangan garis dan dilatasi balik

Untuk mencari bayangan garis, dilatasikan dua titik berbeda pada garis itu. Garis $y=x+2$ memuat $(0,2)$ dan $(2,4)$. Dilatasi pusat O dengan $k=2$ memberi $(0,4)$ dan $(4,8)$, sehingga bayangannya $y=x+4$.

Garis yang melalui pusat dilatasi menjadi garis yang sama sebagai himpunan titik, walaupun titik-titiknya dapat bergeser. Dilatasi balik memakai pusat yang sama dan faktor $\frac1k$. Dua dilatasi dengan pusat sama mempunyai faktor gabungan hasil kali kedua faktor.

Cek pemahaman

1. Dilatasikan $(-2,4)$ dengan pusat O dan $k=-\frac12$.
2. Apa faktor panjang jika $k=-3$?
3. Luas 20 cm persegi diperkecil dengan $k=\frac12$. Berapa luas baru?

Pembahasan

1. $(1,-2)$.
2. $|k|=3$; panjang menjadi tiga kali semula.
3. $\frac14\times20=5$ cm persegi.

Ringkasan

Tentukan pusat dan faktor terlebih dahulu. Koordinat mengikuti faktor bertanda, panjang mengikuti nilai mutlak faktor, dan luas mengikuti kuadratnya. Periksa kesegarisan pusat, titik, serta bayangan.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan, ilustrasi, dan contoh baru berdasarkan Bab 3 bagian E, Matematika untuk SMP/MTs Kelas IX (2022), halaman 192-202 (halaman PDF 212-222).