Sistem Persamaan Linear Dua Variabel - Matematika Kelas 9 SMP

Tujuan belajar

Kamu akan memodelkan sistem persamaan linear dua variabel, menyelesaikannya dengan metode grafik, substitusi, eliminasi, dan campuran, serta membedakan satu, tidak ada, dan tak hingga penyelesaian. Setiap hasil akan diperiksa pada kedua persamaan dan ditafsirkan sesuai konteks.

Dua persamaan, satu pasangan yang sama

Sistem persamaan linear dua variabel, disingkat SPLDV, terdiri dari dua persamaan linear yang menggunakan dua variabel dengan arti yang sama. Bentuk umumnya adalah ax + by = c dan dx + ey = f. Pada setiap persamaan, kedua koefisien variabel tidak sekaligus nol.

Penyelesaian sistem harus memenuhi kedua persamaan sekaligus. Contoh sistem x + y = 7 dan x - y = 1 mempunyai penyelesaian (4, 3). Pasangan ini benar karena 4 + 3 = 7 dan 4 - 3 = 1. Pasangan (5, 2) hanya memenuhi persamaan pertama; pasangan tersebut bukan penyelesaian sistem.

Satu persamaan dapat mempunyai banyak pasangan penyelesaian. Menambahkan persamaan kedua berarti mencari pasangan yang juga memenuhi syarat baru. Namun, dua persamaan tidak selalu menjamin satu jawaban: grafiknya dapat berpotongan, sejajar, atau berimpit.

Metode grafik

Gunakan sistem x + y = 7 dan x - y = 1. Gambar kedua garis pada satu bidang Kartesius. Untuk persamaan pertama, y = 7 - x; dua titiknya (0, 7) dan (7, 0). Untuk persamaan kedua, y = x - 1; dua titiknya (0, -1) dan (1, 0).

Persamaan	Titik pertama	Titik kedua
x + y = 7	(0, 7)	(7, 0)
x - y = 1	(0, -1)	(1, 0)

Titik perpotongan tampak pada (4, 3). Periksa dengan substitusi: 4 + 3 = 7 dan 4 - 3 = 1. Karena memenuhi kedua persamaan, (4, 3) merupakan penyelesaian. Koordinat x tidak boleh ditukar dengan y ketika melaporkan hasil.

Metode grafik membantu memahami arti penyelesaian. Namun, bacaan dari gambar dapat kurang teliti, terutama jika titik potongnya pecahan atau berada di luar jendela gambar. Gunakan pemeriksaan aljabar untuk memastikan nilai tepatnya. Dua garis yang tampak belum berpotongan di bagian gambar belum tentu sejajar; mungkin titik potongnya berada di luar jendela.

Metode substitusi

Substitusi berarti mengganti suatu variabel dengan bentuk yang sama nilainya dari persamaan lain. Metode ini praktis jika salah satu variabel mudah dinyatakan sendiri. Selesaikan y = 2x - 1 dan x + y = 8.

1. Persamaan pertama sudah menyatakan y dalam x.
2. Gantikan y pada persamaan kedua: x + (2x - 1) = 8.
3. Gabungkan suku sejenis: 3x - 1 = 8, sehingga 3x = 9 dan x = 3.
4. Masukkan x = 3 ke y = 2x - 1: y = 6 - 1 = 5.
5. Periksa: 5 = 2(3) - 1 dan 3 + 5 = 8. Penyelesaiannya (3, 5).

Substitusikan ke persamaan yang lain, bukan hanya ke persamaan asal. Jika y = 2x - 1 dimasukkan kembali ke persamaan yang sama, hasilnya hanya identitas yang tidak menambahkan informasi. Pertahankan tanda kurung saat mengganti bentuk, terutama jika ada pengurangan: x - (2x - 1) berarti x - 2x + 1.

Metode eliminasi

Eliminasi menghilangkan satu variabel dengan menjumlahkan atau mengurangkan dua persamaan. Sebelumnya, samakan besar koefisien variabel yang akan dihilangkan. Selesaikan 2x + 3y = 16 dan 3x + 2y = 19.

Untuk menghilangkan y, kalikan seluruh persamaan pertama dengan 2 dan seluruh persamaan kedua dengan 3:

• 4x + 6y = 32.
• 9x + 6y = 57.

Kurangkan persamaan kedua hasil perkalian dengan persamaan pertama hasil perkalian: (9x + 6y) - (4x + 6y) = 57 - 32. Maka 5x = 25, sehingga x = 5.

Untuk menghilangkan x pada sistem awal, kalikan persamaan pertama dengan 3 dan persamaan kedua dengan 2:

• 6x + 9y = 48.
• 6x + 4y = 38.

Kurangkan kedua persamaan: 5y = 10, sehingga y = 2. Penyelesaiannya (5, 2). Pemeriksaan: 2(5) + 3(2) = 16 dan 3(5) + 2(2) = 19.

Jika koefisien sama tandanya dan sama nilainya, pengurangan akan menghilangkan variabel. Jika berlawanan tanda dengan besar sama, penjumlahan akan menghilangkannya. Kedua cara sah. Saat mengalikan suatu persamaan, kalikan semua suku dan kedua ruas, bukan hanya koefisien variabel yang ingin dihilangkan.

Metode campuran

Metode campuran menggabungkan eliminasi dan substitusi. Selesaikan 2x + 3y = 16 dan x + y = 6. Kalikan persamaan kedua dengan 2 sehingga menjadi 2x + 2y = 12. Kurangkan dari persamaan pertama: y = 4.

Selanjutnya substitusikan y = 4 ke x + y = 6. Diperoleh x = 2. Jadi penyelesaiannya (2, 4). Periksa: 2(2) + 3(4) = 16 dan 2 + 4 = 6. Setelah satu variabel ditemukan, memakai substitusi sering lebih singkat daripada melakukan eliminasi sekali lagi.

Semua metode harus memberi hasil yang sama untuk sistem yang sama jika dikerjakan dengan benar. Pilih metode berdasarkan bentuk persamaan, bukan karena satu metode dianggap selalu paling baik. Koefisien 1 sering memudahkan substitusi, sedangkan koefisien yang sudah sama atau mudah disamakan memudahkan eliminasi.

Satu, tidak ada, atau tak hingga penyelesaian

Untuk domain real, tiga kemungkinan dapat ditafsirkan melalui grafik dan hasil aljabarnya.

Hubungan kedua garis	Contoh sistem	Kesimpulan
Berpotongan di satu titik	x + y = 7; x - y = 1	Tepat satu penyelesaian, (4, 3)
Sejajar dan berbeda	x + y = 4; x + y = 7	Tidak ada penyelesaian
Berimpit	x + y = 4; 2x + 2y = 8	Tak hingga penyelesaian real

Pada sistem sejajar, mengurangkan kedua persamaan menghasilkan 0 = 3, yang mustahil. Tidak ada pasangan yang memenuhi keduanya. Pada sistem berimpit, persamaan kedua hanya dua kali persamaan pertama; mengurangkannya menghasilkan 0 = 0. Ini menunjukkan kedua syarat setara, bukan berarti x = 0 dan y = 0.

Untuk sistem berimpit pada contoh, himpunan penyelesaian real dapat ditulis (t, 4 - t), dengan t bilangan real. Jika domain dibatasi bilangan cacah, hanya pasangan (0, 4), (1, 3), (2, 2), (3, 1), dan (4, 0) yang diperbolehkan. Jadi pernyataan tak hingga harus memperhatikan domain. Identitas 0 = 0 saja juga tidak menentukan satu nilai x atau y; tetap gunakan persamaan yang tersisa.

Dua garis tidak tegak dengan gradien berbeda berpotongan tepat satu kali. Jika gradiennya sama, periksa konstanta: dapat sejajar berbeda atau berimpit. Membandingkan persamaan setelah disederhanakan membantu menghindari pembagian dengan nol pada pemeriksaan rasio koefisien.

Memodelkan transaksi dan menafsirkan harga

Dalam contoh hipotetis, dua buku dan tiga pensil berharga Rp16.000, sedangkan tiga buku dan dua pensil berharga Rp19.000. Misalkan x harga satu buku dan y harga satu pensil, masing-masing dalam ribuan rupiah. Sistemnya 2x + 3y = 16 dan 3x + 2y = 19.

Dari contoh eliminasi diperoleh x = 5 dan y = 2. Jadi satu buku berharga Rp5.000 dan satu pensil Rp2.000. Untuk empat buku dan satu pensil, totalnya 4(5000) + 2000 = Rp22.000. Kembalikan satuan sebelum menulis jawaban akhir.

Model ini mengasumsikan harga satuan sama pada kedua transaksi serta tidak ada biaya tambahan atau diskon yang berbeda. Jika informasi cerita menyebut jumlah maksimum atau anggaran paling banyak, jangan otomatis mengubahnya menjadi persamaan tepat sama. Persamaan sesuai bila totalnya memang diketahui tepat.

Contoh jumlah benda dan kelayakan hasil

Sebuah kegiatan menjual tepat 12 tiket. Harga tiket dewasa Rp20.000 dan tiket anak Rp10.000. Total pendapatan Rp190.000. Misalkan d banyak tiket dewasa dan a banyak tiket anak. Modelnya d + a = 12 dan 20d + 10a = 190, dengan nilai uang dalam ribuan rupiah.

Sederhanakan persamaan kedua menjadi 2d + a = 19. Kurangkan persamaan pertama, diperoleh d = 7, lalu a = 5. Pemeriksaan: 7 + 5 = 12 dan 7(20000) + 5(10000) = 190000. Jadi terjual tujuh tiket dewasa dan lima tiket anak.

Karena variabel menyatakan banyak tiket, hasil harus bilangan cacah. Jika suatu sistem menghasilkan jumlah tiket negatif atau pecahan, periksa data dan model. Jangan langsung membulatkan untuk memaksa jawaban tampak wajar karena pasangan setelah pembulatan mungkin tidak lagi memenuhi kedua persamaan.

Contoh geometri

Panjang persegi panjang 4 cm lebih besar daripada lebarnya dan kelilingnya 40 cm. Misalkan p panjang dan l lebar dalam cm. Modelnya p - l = 4 dan 2p + 2l = 40. Persamaan kedua disederhanakan menjadi p + l = 20.

Jumlahkan p - l = 4 dan p + l = 20: 2p = 24 sehingga p = 12. Substitusi memberi l = 8. Kedua ukuran positif dan memenuhi kedua syarat. Jika ditanya luas, lanjutkan dengan p x l = 12 x 8 = 96 cm persegi. Pasangan panjang dan lebar belum merupakan jawaban akhir jika pertanyaannya meminta luas.

Cek pemahaman

1. Apakah (5, 2) menyelesaikan x + y = 7 dan x - y = 1?
2. Selesaikan y = x + 2 dan x + y = 10 dengan substitusi.
3. Selesaikan 2x + y = 11 dan x + y = 7 dengan eliminasi atau campuran.
4. Tentukan banyak penyelesaian real dari x + y = 3 dan 2x + 2y = 6.
5. Mengapa x + y = 3 dan 2x + 2y = 8 tidak memiliki penyelesaian?

Pembahasan

1. Tidak. Persamaan pertama benar, tetapi 5 - 2 = 3, bukan 1.
2. x + (x + 2) = 10 memberi x = 4 dan y = 6. Pasangannya (4, 6).
3. Kurangkan kedua persamaan, diperoleh x = 4. Lalu y = 3. Pasangannya (4, 3).
4. Tak hingga karena kedua persamaan setara dan garisnya berimpit. Semua pasangan real (t, 3 - t) memenuhi.
5. Dua kali persamaan pertama menghasilkan 2x + 2y = 6, bertentangan dengan persamaan kedua yang mensyaratkan 8. Grafiknya sejajar berbeda.

Ringkasan

Penyelesaian SPLDV memenuhi kedua persamaan sekaligus. Grafik mencari titik perpotongan; substitusi mengganti variabel dengan bentuk setaranya; eliminasi menghilangkan variabel; campuran memakai eliminasi lalu substitusi. Periksa kemungkinan garis sejajar atau berimpit, lalu cocokkan pasangan hasil dengan persamaan awal, satuan, domain, dan pertanyaan cerita.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan, ilustrasi, dan contoh baru berdasarkan Bab 1 bagian B, Matematika untuk SMP/MTs Kelas IX (2022), halaman 12-31 (halaman PDF 32-51).