Translasi (Pergeseran) - Matematika Kelas 9 SMP

Tujuan belajar

Kamu akan menentukan bayangan titik, bangun, dan garis oleh translasi, mencari vektor pergeseran, serta membalik atau menggabungkan translasi. Contoh dan diagram berikut dibuat untuk latihan.

Semua titik bergeser dengan vektor yang sama

Translasi menggeser setiap titik dengan jarak dan arah yang sama. Bangun tidak diputar, dibalik, atau diperbesar. Bentuk, panjang sisi, besar sudut, keliling, luas, dan orientasi urutan titik sudut tetap. Posisi bangun dapat berubah.

Pada bidang Kartesius, komponen pertama menyatakan perubahan mendatar dan komponen kedua perubahan tegak. Vektor $T=(a,b)$ dapat juga ditulis $\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$. Komponen positif berarti kanan atau atas, sedangkan komponen negatif berarti kiri atau bawah. Komponen nol berarti tidak bergeser pada arah itu.

Contohnya empat satuan ke kiri dan dua satuan ke atas dinyatakan $T=(-4,2)$, bukan $(2,-4)$. Jarak lurus pergeseran berbeda dari jumlah langkah mendatar dan tegak. Untuk $T=(3,4)$, jarak lurusnya $sqrt{3^2+4^2}=5$ satuan, bukan 7 satuan.

Aturan koordinat

Bayangan titik $P(x,y)$ oleh $T=(a,b)$ adalah $P'(x+a,y+b)$. Tanda aksen menunjukkan bayangan. Titik $P(-2,3)$ digeser oleh $(5,-4)$ menjadi $P'(3,-1)$ karena $-2+5=3$ dan $3-4=-1$.

Untuk bangun datar, terapkan vektor yang sama pada seluruh titik sudut, kemudian hubungkan bayangannya dengan urutan yang sama.

Titik awal	Translasi $(-4,1)$	Bayangan
$A(1,1)$	$(1-4,1+1)$	$A'(-3,2)$
$B(3,1)$	$(3-4,1+1)$	$B'(-1,2)$
$C(1,3)$	$(1-4,3+1)$	$C'(-3,4)$

Salah satu pemeriksaan adalah membandingkan perubahan koordinat tiap pasangan titik. Jika satu titik berubah dengan vektor berbeda, hasilnya bukan translasi seluruh bangun yang sama.

Mencari translasi dan bayangan balik

Jika $P(x,y)$ menjadi $P'(u,v)$, vektornya $(u-x,v-y)$. Dari $A(1,-3)$ ke $A'(-2,5)$ diperoleh $(-2-1,5-(-3))=(-3,8)$.

Translasi balik dari $(a,b)$ adalah $(-a,-b)$. Jika bayangan $P'(4,-1)$ diperoleh dengan $T=(-2,5)$, titik awalnya $(4-(-2),-1-5)=(6,-6)$. Jangan menambahkan vektor lagi ketika yang dicari justru titik asal.

Dua translasi berturut-turut dijumlahkan komponennya. Vektor $(3,-1)$ dilanjutkan $(-5,4)$ setara dengan $(-2,3)$. Khusus dua translasi ini, urutannya boleh ditukar; hal tersebut tidak otomatis berlaku pada gabungan jenis transformasi lain.

Translasi sebuah garis

Ambil dua titik berbeda pada garis, geser keduanya, lalu tentukan garis melalui bayangannya. Sebagai cara aljabar, misalkan koordinat bayangan $(X,Y)$. Karena $X=x+a$ dan $Y=y+b$, gunakan $x=X-a$ dan $y=Y-b$ pada persamaan awal.

Garis $y=2x+1$ digeser oleh $(3,-2)$. Substitusi balik memberi $Y+2=2(X-3)+1$, sehingga $Y=2X-7$. Dalam penamaan sumbu biasa, hasilnya $y=2x-7$. Titik $(0,1)$ menjadi $(3,-1)$ dan memenuhi garis baru karena $-1=2(3)-7$.

Cek pemahaman

1. Geser $P(2,-1)$ oleh $(-3,4)$.
2. Tentukan vektor dari $(0,2)$ ke $(5,-1)$.
3. Apa translasi balik dari $(-6,3)$?

Pembahasan

1. $P'(-1,3)$.
2. $(5,-3)$.
3. $(6,-3)$; menerapkannya setelah translasi semula mengembalikan semua titik.

Ringkasan

Tambahkan komponen mendatar dan tegak pada koordinat yang sesuai. Gunakan satu vektor untuk semua titik, kurangkan komponen saat mencari titik asal, dan periksa bayangan garis dengan substitusi.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan, ilustrasi, dan contoh baru berdasarkan Bab 3 bagian A, Matematika untuk SMP/MTs Kelas IX (2022), halaman 136-145 (halaman PDF 156-165).