Rotasi (Perputaran) - Matematika Kelas 9 SMP

Tujuan belajar

Kamu akan menyatakan rotasi dengan pusat, besar sudut, dan arah; menghitung bayangan titik atau garis; serta memeriksa gabungan transformasi.

Tiga informasi yang diperlukan

Rotasi memutar bangun terhadap suatu pusat tetap. Untuk menentukannya, sebutkan pusat, besar sudut, dan arah. Dalam konvensi yang dipakai di sini, sudut positif berlawanan arah jarum jam dan sudut negatif searah jarum jam.

Jarak setiap titik ke pusat tetap. Panjang sisi, sudut, keliling, luas, dan orientasi urutan titik sudut juga tetap. Pusat rotasi sendiri tidak berpindah. Memutar bangun tidak berarti menukar dua koordinat tanpa memperhatikan tandanya.

Rotasi terhadap titik asal

Sudut terhadap $O(0,0)$	Arah	Bayangan $(x,y)$
$90^\circ$	Berlawanan jarum jam	$(-y,x)$
$-90^\circ$	Searah jarum jam	$(y,-x)$
$180^\circ$ atau $-180^\circ$	Setengah putaran	$(-x,-y)$
$270^\circ$	Berlawanan jarum jam	$(y,-x)$
$360^\circ$	Satu putaran	$(x,y)$

Titik $P(3,1)$ diputar $90^\circ$ menjadi $(-1,3)$. Titik $Q(-2,5)$ diputar $-90^\circ$ menjadi $(5,2)$. Untuk setengah putaran, kedua koordinat berganti tanda: $(4,-3)$ menjadi $(-4,3)$.

Gunakan aturan yang sama untuk semua titik sudut, lalu hubungkan kembali dalam urutan semula. Skala satuan kedua sumbu pada gambar dibuat sama agar sudut dan jarak dapat dibandingkan secara geometris.

Pusat selain titik asal

Jangan langsung memakai rumus pusat O untuk pusat lain. Kurangkan koordinat pusat, lakukan rotasi, lalu tambahkan kembali koordinat pusat.

Untuk pusat $C(a,b)$ dan rotasi $90^\circ$, aturan tersebut menghasilkan $(x,y)\mapsto(a-(y-b),b+(x-a))$. Misalnya pusat $(1,1)$ dan titik $(3,1)$. Posisi relatifnya $(2,0)$, setelah diputar menjadi $(0,2)$, sehingga bayangannya $(1,3)$.

Cara yang sama berlaku untuk sudut lainnya. Pada rotasi $180^\circ$ dengan pusat C, bayangannya $(2a-x,2b-y)$. Titik C merupakan titik tengah pasangan titik dan bayangannya.

Gabungan dan urutan

Dua rotasi dengan pusat yang sama dapat digabung dengan menjumlahkan sudut. Rotasi $90^\circ$ lalu $90^\circ$ setara $180^\circ$. Sudut yang berbeda kelipatan $360^\circ$ memberi hasil sama. Aturan menjumlahkan sudut ini tidak boleh langsung dipakai untuk dua pusat berbeda.

Urutan jenis transformasi berbeda umumnya berpengaruh. Mulai dari $(2,3)$: refleksi pada sumbu x memberi $(2,-3)$, lalu rotasi $90^\circ$ terhadap O memberi $(3,2)$. Jika dibalik, rotasi terlebih dahulu memberi $(-3,2)$ dan refleksi berikutnya memberi $(-3,-2)$. Kedua hasil akhir berbeda.

Rotasi sebuah garis

Ambil dua titik berbeda pada garis, putar keduanya, kemudian tentukan garis melalui bayangannya. Garis $x=2$ melalui $(2,0)$ dan $(2,1)$. Rotasi $90^\circ$ terhadap O membawa keduanya ke $(0,2)$ dan $(-1,2)$, sehingga bayangannya $y=2$. Garis tegak dapat berubah menjadi mendatar.

Cek pemahaman

1. Putar $(1,-4)$ sebesar $90^\circ$ terhadap O.
2. Putar $(2,5)$ sebesar $180^\circ$ terhadap O.
3. Apakah jarak ke pusat berubah setelah rotasi?

Pembahasan

1. $(4,1)$.
2. $(-2,-5)$.
3. Tidak. Titik dan bayangannya berada pada lingkaran dengan pusat serta jari-jari yang sama.

Ringkasan

Nyatakan pusat dan arah dengan jelas. Gunakan koordinat relatif untuk pusat lain dan periksa urutan setiap tahap transformasi.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan, ilustrasi, dan contoh baru berdasarkan Bab 3 bagian C, Matematika untuk SMP/MTs Kelas IX (2022), halaman 165-171 (halaman PDF 185-191).