Deret Aritmetika - Matematika Kelas 10 SMA

Tujuan belajar

Kamu dapat membedakan barisan dari deret, menjumlahkan suku barisan aritmetika, serta menentukan banyak suku sesuai batas soal.

Dari barisan menjadi deret

Barisan $4,7,10,13$ memuat empat nilai berurutan. Deret $4+7+10+13$ menjumlahkan nilai-nilai itu. Notasi $S_n=U_1+U_2+\cdots+U_n$ menyatakan jumlah $n$ suku pertama. Jadi $U_4=13$, tetapi $S_4=34$.

Mengapa rumus jumlah bekerja?

Pada barisan aritmetika, pasangan suku pertama dengan terakhir, kedua dengan kedua terakhir, dan seterusnya selalu memiliki jumlah $a+U_n$.

Tuliskan jumlah sekali dari depan dan sekali dari belakang. Ada $n$ pasangan dengan jumlah sama, sehingga $2S_n=n(a+U_n)$. Maka:

$$ S_n=\frac{n}{2}(a+U_n) $$

Dengan $U_n=a+(n-1)b$, bentuk lain rumusnya adalah:

$$ S_n=\frac{n}{2}\left(2a+(n-1)b\right) $$

Rumus tetap berlaku untuk banyak suku ganjil; penalaran dua penjumlahan tadi tidak memerlukan pembagian suku menjadi pasangan yang berbeda secara fisik.

Contoh jumlah kursi

Baris pertama sebuah ruang memiliki 12 kursi dan tiap baris berikutnya bertambah 2 kursi. Jika terdapat 10 baris, suku terakhirnya $U_{10}=12+9(2)=30$.

Total kursi adalah $S_{10}=10(12+30)/2=210$. Jawaban 30 hanya menyatakan banyak kursi pada baris terakhir, bukan total semua baris.

Menghitung banyak suku terlebih dahulu

Jumlah kelipatan 5 dari 15 sampai 60, dengan kedua batas disertakan, adalah $15+20+\cdots+60$.

Dari $60=15+(n-1)5$, diperoleh $n=10$. Maka jumlahnya $10(15+60)/2=375$. Menghitung $(60-15)/5=9$ hanya memberikan banyak sela, bukan banyak suku.

Jika yang ditanyakan jumlah suku ke-4 hingga ke-9, gunakan $S_9-S_3$. Ada enam suku, bukan sembilan. Hubungan $U_n=S_n-S_{n-1}$ berlaku untuk $n\ge2$, sedangkan $U_1=S_1$.

Contoh pasangan orang

Jika 8 orang masing-masing berjabat tangan dengan setiap orang lain tepat satu kali, banyak jabat tangan adalah $7+6+\cdots+1=8(7)/2=28$. Membagi dua mencegah pasangan yang sama dihitung dari dua arah.

Cek pemahaman

1. Hitung jumlah 12 suku pertama barisan aritmetika dengan $a=3$, $b=2$.
2. Hitung $10+15+\cdots+50$.
3. Jika $S_5=80$ dan $S_4=58$, berapa $U_5$?

Pembahasan

1. $U_{12}=25$, sehingga $S_{12}=12(3+25)/2=168$.
2. Ada 9 suku; jumlahnya $9(10+50)/2=270$.
3. $U_5=S_5-S_4=22$.

Ingat kembali

Tentukan suku awal, suku akhir, dan banyak suku yang benar. $U_n$ adalah satu suku, sedangkan $S_n$ adalah jumlah.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan, contoh, dan soal baru berdasarkan Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X (Edisi Revisi), 2023, Bab 2, bagian B.1, halaman 50-55 (halaman PDF 66-71).