Memodelkan Sistem Persamaan Linear - Matematika Kelas 10 SMA

Tujuan belajar

Kamu dapat menetapkan variabel beserta satuannya, membedakan persamaan linear dan bukan linear, serta menerjemahkan informasi menjadi sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV). Bekal yang digunakan adalah operasi aljabar dan SPLDV dari SMP.

Apa yang dimaksud linear?

Persamaan linear tiga variabel dapat ditulis $ax+by+cz=d$, dengan koefisien tetap dan setidaknya satu dari $a,b,c$ tidak nol. Variabel berpangkat satu serta tidak saling dikalikan. Bentuk $2x-y+3z=12$ linear; $xy+z=12$ dan $x^2+y+z=12$ bukan linear.

Sebuah persamaan boleh memiliki koefisien nol. Contohnya $x+2z=7$ dapat ditulis $x+0y+2z=7$. Namun satu persamaan ini saja belum menentukan ketiga nilai variabel secara tunggal. Istilah sistem berarti beberapa persamaan harus dipenuhi bersamaan, bukan memilih salah satunya.

Tetapkan arti dan satuan variabel

Sebuah koperasi membuat tiga paket alat tulis. Misalkan $x$ adalah harga satu buku, $y$ harga satu pena, dan $z$ harga satu map, semuanya dalam ribuan rupiah. Paket pertama memuat dua buku, satu pena, dan satu map seharga Rp13.000. Dua paket lain memuat komposisi berbeda.

Paket	Buku	Pena	Map	Harga (ribu rupiah)
P	2	1	1	13
Q	1	2	1	12
R	1	1	2	11

Modelnya adalah:

$$ \begin{cases}2x+y+z=13\\x+2y+z=12\\x+y+2z=11\end{cases} $$

Koefisien menyatakan banyak barang, sedangkan variabel menyatakan harga per barang. Jangan menukar keduanya. Karena satuannya ribuan rupiah, ruas kanan ditulis 13, 12, dan 11, bukan 13.000 sambil tetap menafsirkan $x$ dalam ribuan.

Periksa calon solusi

Calon $(x,y,z)=(4,3,2)$ memberikan $2(4)+3+2=13$, $4+2(3)+2=12$, dan $4+3+2(2)=11$. Ketiga persamaan benar. Jadi harga buku Rp4.000, pena Rp3.000, dan map Rp2.000.

Calon yang hanya memenuhi persamaan pertama belum tentu solusi sistem. Selalu substitusikan ke semua persamaan awal. Tulis urutan variabel dengan konsisten: $(x,y,z)$ berbeda dari $(y,x,z)$.

Model matematika dan batas konteks

Untuk menghitung banyak barang, gunakan bilangan bulat tidak negatif. Untuk berat atau panjang, pecahan positif mungkin masuk akal. Persamaan aljabar dapat mempunyai hasil negatif, tetapi hasil itu harus diperiksa kembali terhadap konteks. Tidak semua persoalan selalu memiliki satu solusi; jumlah dan keterkaitan informasinya menentukan kemungkinan penyelesaian.

Kesalahan yang perlu dihindari

• Menganggap setiap sistem dengan tiga persamaan pasti memiliki satu solusi.
• Menulis $xyz$ ketika yang dimaksud adalah jumlah harga $x+y+z$.
• Mengubah satuan hanya pada salah satu ruas.
• Menguji calon jawaban pada satu persamaan saja.

Cek pemahaman

1. Apakah $3x-2y=9$ dapat menjadi salah satu persamaan dalam SPLTV?
2. Tiga buku dan dua map berharga Rp16.000. Tuliskan model dalam ribuan rupiah.
3. Apakah $(4,3,2)$ memenuhi seluruh sistem pada tabel?

Pembahasan

1. Ya, tulis $3x-2y+0z=9$; variabel yang tidak muncul memiliki koefisien nol.
2. Dengan arti variabel yang sama, $3x+2z=16$.
3. Ya. Hasil substitusi berturut-turut adalah 13, 12, dan 11.

Ringkasan

Mulai dari arti variabel, satuan, dan tabel informasi. Setelah memperoleh solusi, periksa semua persamaan dan terjemahkan kembali ke situasi semula.

Lanjut belajar

Latihan akhir Bab 4.

Materi berikutnya: Eliminasi dan Substitusi pada SPLTV.

Acuan buku

Materi, contoh, ilustrasi, dan soal baru disusun berdasarkan cakupan Bab 4 Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X (Edisi Revisi), 2023, bagian A, mulai halaman 110 (halaman PDF 126). Soal latihan bukan salinan soal buku.