Sinus, Cosinus, dan Hubungan Trigonometri - Matematika Kelas 10 SMA

Tujuan belajar

Kamu dapat menggunakan sinus dan cosinus untuk panjang yang melibatkan hipotenusa, serta menghubungkannya dengan tangen dan Pythagoras.

Tiga perbandingan pada sudut yang sama

Untuk sudut lancip $\theta$ pada segitiga siku-siku, gunakan:

$$ \sin\theta=\frac{\text{depan}}{\text{miring}}, \qquad \cos\theta=\frac{\text{samping}}{\text{miring}} $$

Tangen tetap $\tan\theta=\text{depan}/\text{samping}$. Ketiga rasio harus ditentukan terhadap sudut acuan yang sama.

Pada segitiga ABC siku-siku di B dengan $AB=4$, $BC=3$, dan $AC=5$, untuk $\theta=\angle A$ diperoleh $\sin\theta=3/5$, $\cos\theta=4/5$, dan $\tan\theta=3/4$.

Sinus dan cosinus sudut lancip bernilai lebih dari 0 dan kurang dari 1 karena setiap kaki lebih pendek daripada hipotenusa. Tangen dapat lebih besar dari 1, misalnya pada sudut dengan sisi depan 8 dan sisi samping 6.

Menentukan sisi yang belum diketahui

Jika hipotenusa 10 cm dan $\sin\theta=3/5$, sisi depan adalah $10(3/5)=6$ cm. Jika sisi samping 12 cm dan $\cos\theta=4/5$, hipotenusa $c$ memenuhi $12/c=4/5$, sehingga $c=15$ cm.

Jangan mengalikan dengan rasio ketika yang dicari berada di penyebut. Buat persamaan dahulu agar operasi yang dipilih jelas.

Hubungan dengan teorema Pythagoras

Misalkan sisi depan $p$, samping $q$, dan miring $c$. Dari $p^2+q^2=c^2$, bagi kedua ruas dengan $c^2$:

$$ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1 $$

Notasi $\sin^2\theta$ berarti $(\sin\theta)^2$, bukan $\sin(\theta^2)$. Jika $\sin\theta=5/13$ dan $\theta$ lancip, maka $\cos\theta=\sqrt{1-25/169}=12/13$. Akar positif dipilih karena cosinus sudut lancip positif.

Tangen sebagai hasil bagi

Karena $(p/c)/(q/c)=p/q$, diperoleh:

$$ \tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta} $$

Untuk sudut lancip, $\cos\theta\ne0$ sehingga pembagian ini terdefinisi. Dengan sinus $5/13$ dan cosinus $12/13$, tangennya $5/12$.

Kebalikan sebagai pengenalan

Buku juga mengenalkan tiga rasio kebalikan: $\csc\theta=1/\sin\theta$, $\sec\theta=1/\cos\theta$, dan $\cot\theta=1/\tan\theta$. Pada segitiga sudut lancip, semua penyebut tersebut positif.

Jangan mengartikan $1/\sin\theta$ sebagai sudut yang dicari oleh tombol invers sinus pada kalkulator. Rasio kebalikan dan operasi mencari sudut mempunyai makna berbeda.

Cek pemahaman

1. Sisi depan 8, samping 15, dan miring 17. Berapa $\sin\theta$ dan $\cos\theta$?
2. Jika $\cos\theta=3/5$ dan $\theta$ lancip, berapa $\sin\theta$?
3. Jika $\sin\theta=3/5$ dan $\cos\theta=4/5$, berapa $\tan\theta$?

Pembahasan

1. Sinus $8/17$ dan cosinus $15/17$.
2. $\sqrt{1-9/25}=4/5$.
3. $(3/5)/(4/5)=3/4$.

Ingat kembali

Pilih depan, samping, atau miring sesuai data. Pastikan sudut acuan dan syarat sudut lancip tetap diperhatikan.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan, diagram, contoh, dan soal baru berdasarkan Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X (Edisi Revisi), 2023, Bab 3, bagian B.1-B.2, halaman 88-97 (halaman PDF 104-113).