Daerah Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan - Matematika Kelas 10 SMA

Tujuan belajar

Kamu dapat menentukan irisan beberapa daerah pertidaksamaan, menguji kelayakan titik, dan membaca titik sudut suatu daerah penyelesaian. Materi ini memakai pertidaksamaan dua variabel pada bidang koordinat.

Sistem berarti semua syarat berlaku

Perhatikan sistem berikut:

$$ \begin{cases}x\ge0\\y\ge0\\x+y\le6\\2x+y\le8\end{cases} $$

Sebuah titik menjadi solusi hanya jika memenuhi keempat syarat sekaligus. Memenuhi salah satu atau sebagian syarat belum cukup. Karena itu daerah penyelesaian merupakan irisan, bukan gabungan, dari daerah masing-masing pertidaksamaan.

Gambar batas dan periksa sisi

Garis $x+y=6$ melalui $(6,0)$ dan $(0,6)$. Garis $2x+y=8$ melalui $(4,0)$ dan $(0,8)$. Keduanya digambar utuh karena tanda memuat sama dengan. Titik $(0,0)$ memenuhi kedua batas kapasitas, sehingga sisi yang memuat titik asal dipilih.

Syarat $x\ge0$ dan $y\ge0$ membatasi jawaban ke kuadran I beserta sumbu-sumbunya. Untuk memudahkan pembacaan, grafik hanya menampilkan bagian bidang yang relevan.

Temukan titik potong dua garis

Selesaikan $x+y=6$ dan $2x+y=8$. Mengurangkan persamaan pertama dari kedua menghasilkan $x=2$. Substitusi kembali memberi $y=4$. Jadi kedua garis berpotongan di $(2,4)$.

Titik sudut daerahnya berurutan adalah $(0,0)$, $(4,0)$, $(2,4)$, dan $(0,6)$. Bukan semua titik potong garis dengan sumbu menjadi titik sudut daerah: $(6,0)$ melanggar $2x+y\le8$, sedangkan $(0,8)$ melanggar $x+y\le6$.

Uji rencana yang diberikan

Titik $(1,4)$ memenuhi $1+4\le6$ dan $2(1)+4\le8$, sehingga layak. Titik $(3,3)$ memenuhi batas pertama, tetapi $2(3)+3=9>8$. Rencana kedua tidak layak walaupun kedua koordinatnya positif.

Titik pada batas seperti $(2,4)$ tetap menjadi solusi karena kedua ketidaksamaan memakai $\le$. Jika tanda salah satu batas diganti menjadi $<$, periksa kembali titik pada garis tersebut karena garis itu tidak lagi termasuk.

Daerah tidak selalu terbatas

Sistem $x\ge0$, $y\ge0$, dan $x+y\ge4$ mempunyai daerah tak terbatas. Sebaliknya, syarat $x+y\le3$ bersama $x+y\ge5$ tidak mempunyai irisan. Jangan menganggap setiap sistem pasti menghasilkan sebuah poligon tertutup.

Jika variabel menghitung benda utuh, solusi kontekstual hanya titik berkoordinat bilangan bulat yang memenuhi syarat. Arsiran real tetap berguna untuk menunjukkan wilayah, tetapi bukan izin menggunakan jumlah barang pecahan.

Cek pemahaman

1. Apakah $(4,1)$ memenuhi sistem contoh?
2. Berapakah nilai $y$ terbesar pada daerah contoh?
3. Mengapa $(6,0)$ bukan titik sudut daerah solusi?

Pembahasan

1. Tidak, karena $2(4)+1=9>8$.
2. 6, dicapai pada $(0,6)$.
3. Titik itu melanggar batas $2x+y\le8$ walaupun terletak pada $x+y=6$.

Ringkasan

Cari bagian yang memenuhi semua syarat dan uji titik sudut yang diperoleh. Perhatikan tanda ketat, kemungkinan daerah kosong atau tak terbatas, serta domain variabel dalam konteks.

Lanjut belajar

Latihan akhir Bab 4.

Materi sebelumnya: Pertidaksamaan Linear Dua Variabel.

Materi berikutnya: Penerapan Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan.

Acuan buku

Materi, contoh, ilustrasi, dan soal baru disusun berdasarkan cakupan Bab 4 Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X (Edisi Revisi), 2023, bagian B, mulai halaman 122 (halaman PDF 138). Soal latihan bukan salinan soal buku.