Eliminasi dan Substitusi pada SPLTV - Matematika Kelas 10 SMA

Tujuan belajar

Kamu dapat menyelesaikan SPLTV dengan eliminasi dan substitusi, menjaga kesetaraan setiap langkah, serta memeriksa hasil ke seluruh persamaan awal.

Dari tiga variabel menjadi dua

Eliminasi menghilangkan satu variabel dengan menjumlahkan atau mengurangkan persamaan yang telah disesuaikan. Substitusi mengganti suatu variabel dengan bentuk yang senilai. Keduanya dapat digabungkan; tidak ada kewajiban mengeliminasi variabel tertentu terlebih dahulu.

Perhatikan sistem berikut, dengan $x,y,z$ bilangan real:

$$ \begin{cases}x+y+z=6\quad(1)\\2x-y+z=2\quad(2)\\x+2y-z=7\quad(3)\end{cases} $$

Langkah 1: hilangkan variabel yang sama

Kurangi (2) dengan (1): $x-2y=-4$. Selanjutnya jumlahkan (1) dan (3): $2x+3y=13$. Kedua persamaan baru sama-sama hanya memakai $x$ dan $y$.

Jangan menggabungkan hasil eliminasi yang satu masih memakai $x,y$ dan yang lain memakai $y,z$ lalu menganggapnya SPLDV yang sama. Pilih satu variabel yang akan dihilangkan dari dua pasangan persamaan.

Langkah 2: selesaikan SPLDV

Dari $x-2y=-4$, diperoleh $x=2y-4$. Substitusikan ke $2x+3y=13$:

$$ 2(2y-4)+3y=13\Rightarrow7y=21\Rightarrow y=3. $$

Maka $x=2(3)-4=2$. Gunakan persamaan (1) untuk menemukan $z=6-2-3=1$. Penyelesaiannya adalah $(2,3,1)$.

Langkah 3: verifikasi

Hasilnya harus memberi $2+3+1=6$, $2(2)-3+1=2$, dan $2+2(3)-1=7$. Ketiganya sesuai. Pemeriksaan ini penting karena salah tanda pada satu pengurangan bisa menghasilkan jawaban yang terlihat rapi tetapi keliru.

Menangani koefisien berbeda

Jika ada $2x+y+z=9$ dan $3x-y+2z=12$, menjumlahkan keduanya langsung menghilangkan $y$ dan menghasilkan $5x+3z=21$. Jika ingin menghilangkan $x$, kalikan seluruh persamaan pertama dengan 3 dan seluruh persamaan kedua dengan 2, lalu kurangkan. Seluruh suku, termasuk konstanta, wajib ikut dikalikan.

Mengalikan persamaan dengan bilangan bukan nol mempertahankan himpunan solusinya. Mengalikan dengan nol menghilangkan informasi. Membagi dengan variabel juga perlu dihindari tanpa memeriksa apakah variabel tersebut mungkin nol.

Hasil pecahan tetap sah

Sistem aljabar tidak selalu menghasilkan bilangan bulat. Pada $x+y+z=3$, $x-y=0$, dan $z=1$, diperoleh $x=y=1$. Jika jumlah pada persamaan pertama diganti 4, hasilnya $x=y=3/2$. Pecahan tidak otomatis menandakan kesalahan; batas kontekslah yang menentukan apakah pecahan dapat diterima.

Cek pemahaman

1. Pada sistem contoh, berapakah hasil (2) dikurangi (1)?
2. Berapakah hasil (1) ditambah (3)?
3. Jika $x+y+z=9$, $x-y=1$, dan $z=2$, tentukan $x,y,z$.

Pembahasan

1. $x-2y=-4$.
2. $2x+3y=13$.
3. $x+y=7$ dan $x-y=1$, sehingga $x=4$, $y=3$, dan $z=2$.

Ringkasan

Hilangkan variabel yang sama, selesaikan dua variabel yang tersisa, lalu substitusikan kembali. Tulis operasi pada persamaan secara utuh dan selalu periksa hasilnya.

Lanjut belajar

Latihan akhir Bab 4.

Materi sebelumnya: Memodelkan Sistem Persamaan Linear.

Materi berikutnya: Menentukan Banyaknya Solusi Sistem Linear.

Acuan buku

Materi, contoh, ilustrasi, dan soal baru disusun berdasarkan cakupan Bab 4 Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X (Edisi Revisi), 2023, bagian A, mulai halaman 111 (halaman PDF 127). Soal latihan bukan salinan soal buku.