Penerapan Trigonometri - Matematika Kelas 10 SMA

Tujuan belajar

Kamu dapat memilih perbandingan trigonometri dari situasi, membangun segitiga siku-siku yang sesuai, dan memeriksa arti hasil perhitungan.

Langkah pemodelan

1. Gambar objek, titik pengamatan, dan sudut siku-siku.
2. Tandai sudut acuan serta sisi yang diketahui dan dicari.
3. Pilih sinus untuk depan-miring, cosinus untuk samping-miring, atau tangen untuk depan-samping.
4. Samakan satuan dan susun persamaan.
5. Periksa apakah hasil menyatakan selisih tinggi, tinggi total, jarak horizontal, atau jarak miring.

Jangan mengukur panjang dari gambar skematis. Gunakan nilai yang dinyatakan dalam soal. Bila memakai nilai trigonometri pendekatan, bulatkan hasil akhir sesuai instruksi.

Panjang benda miring dan proyeksinya

Sebuah ruas lurus sepanjang 10 m membentuk sudut $30^\circ$ terhadap tanah horizontal. Pada model segitiga siku-siku, tinggi ujung atasnya $h=10\sin30^\circ=5$ m.

Jarak horizontalnya $d=10\cos30^\circ=5\sqrt3$ m. Panjang 10 m adalah hipotenusa, bukan jarak horizontal.

Jika yang diketahui sisi horizontal 8 m dan sudutnya $60^\circ$, panjang miring $L$ memenuhi $\cos60^\circ=8/L$, sehingga $L=16$ m.

Tali lurus dari titik yang tidak berada di tanah

Sebuah objek berada 7 m di atas tanah. Tali lurus yang tegang dipegang pada tinggi 1 m dan membentuk sudut $30^\circ$ terhadap horizontal. Selisih tinggi dari tangan ke objek adalah $7-1=6$ m.

Panjang tali $L$ memenuhi $\sin30^\circ=6/L$, sehingga $L=12$ m. Memakai tinggi total 7 m akan menghitung sisi depan yang keliru. Contoh ini mengabaikan lengkungan tali dan perbedaan elevasi tanah.

Lebar sungai dari satu tepi

Titik A berada di tepi sungai, titik B di seberangnya, dan ruas AB tegak lurus tepi sungai yang lurus. Pengamat berada di titik C pada tepi yang sama dengan A, sejauh $AC=18$ m.

Jika sudut antara arah C ke A dan C ke B adalah $45^\circ$, maka segitiga CAB siku-siku di A. Lebar sungai $AB=18\tan45^\circ=18$ m. Lebar sungai adalah sisi depan terhadap sudut C, bukan panjang garis pandang CB.

Dua titik pengamatan segaris

Dua pengamat berada di sisi yang sama dari kaki tiang vertikal pada tanah datar. Pengamat dekat melihat puncak dengan sudut $60^\circ$, sedangkan pengamat jauh melihatnya dengan sudut $30^\circ$. Kedua titik pengamatan setinggi tanah dan terpisah 12 m.

Misalkan jarak dekat ke kaki tiang $x$ dan tingginya $H$. Maka $H=x\sqrt3$ dan $H=(x+12)/\sqrt3$. Samakan kedua bentuk: $3x=x+12$, sehingga $x=6$ dan $H=6\sqrt3$ m.

Jarak pengamat jauh adalah $x+12$, bukan $12-x$, karena keduanya berada di sisi yang sama. Jika tinggi alat tidak nol atau berbeda, sesuaikan persamaannya.

Cek pemahaman

1. Ruas miring 12 m membentuk $30^\circ$ terhadap horizontal. Berapa komponen vertikalnya?
2. Sisi depan 6 m dan $\tan\theta=3/4$. Berapa jarak horizontal?
3. Tali lurus 20 m membentuk $30^\circ$ dari tangan setinggi 1,5 m. Berapa tinggi objek jika tanah datar?

Pembahasan

1. $12\sin30^\circ=6$ m.
2. $d=6/(3/4)=8$ m.
3. Selisih tinggi $20\sin30^\circ=10$ m. Tinggi total $10+1{,}5=11{,}5$ m.

Ingat kembali

Rumus yang benar harus memakai segitiga yang benar. Periksa acuan sudut, dasar ketinggian, satuan, dan makna jarak sebelum menerima hasil.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan, diagram, contoh, dan soal baru berdasarkan Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X (Edisi Revisi), 2023, Bab 3, bagian B dan Uji Kompetensi, halaman 99-104 (halaman PDF 115-120).