Deret Geometri - Matematika Kelas 10 SMA

Tujuan belajar

Kamu dapat menghitung jumlah berhingga barisan geometri, menggunakan kasus khusus rasio 1, dan membedakan hasil satu tahap dari total beberapa tahap.

Menjumlahkan suku dengan rasio tetap

Untuk barisan geometri dengan suku pertama $a$ dan rasio $r$, jumlah $n$ suku pertamanya adalah $S_n=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}$. Di sini $n$ merupakan bilangan bulat positif.

Kalikan seluruh persamaan dengan $r$. Pada selisih $S_n-rS_n$, suku tengah saling menghapus sehingga tersisa $a-ar^n$. Untuk $r\ne1$:

$$ S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r} $$

Bentuk setaranya adalah $S_n=a(r^n-1)/(r-1)$. Pilih salah satu bentuk secara konsisten; jangan mengganti tanda pembilang tanpa mengganti tanda penyebut.

Jika $r=1$, semua suku bernilai $a$, sehingga $S_n=na$. Rumus pecahan di atas tidak digunakan karena penyebutnya nol.

Contoh dengan rasio lebih dari satu

Hitung $3+6+12+24+48$. Terdapat lima suku, $a=3$ dan $r=2$. Jumlahnya $S_5=3(2^5-1)/(2-1)=93$.

Suku kelimanya $U_5=3(2^4)=48$, berbeda dari jumlahnya 93. Pada rumus $U_n$ eksponennya $n-1$, sedangkan pada rumus jumlah berhingga muncul $r^n$.

Rasio pecahan atau negatif

Untuk $8+4+2+1$, gunakan $a=8$, $r=1/2$, dan $n=4$. Hasilnya $8(1-(1/2)^4)/(1-1/2)=15$.

Rasio negatif juga boleh pada jumlah berhingga. Contoh $2-4+8-16$ memiliki $r=-2$, sehingga $S_4=2(1-16)/(1+2)=-10$. Periksa dengan penjumlahan langsung.

Syarat $\lvert r\rvert<1$ tidak diperlukan untuk deret berhingga. Syarat itu baru menentukan konvergensi deret geometri tak hingga dengan suku awal bukan nol.

Model beberapa tahap

Pada hari pertama sebuah program membagikan 5 kartu baru. Setiap hari berikutnya jumlah kartu baru menjadi dua kali hari sebelumnya. Tidak ada kartu yang dihitung pada dua hari.

Jumlah kartu baru pada hari ke-4 adalah $U_4=5(2^3)=40$. Total kartu selama empat hari adalah $S_4=5(2^4-1)=75$. Bedakan kata pada satu hari dari selama beberapa hari.

Jika total $2+4+\cdots+2^n=62$, maka $2(2^n-1)=62$, sehingga $2^n=32$ dan $n=5$. Periksa bahwa $n$ sesuai banyak suku yang diizinkan.

Cek pemahaman

1. Hitung $1+3+9+27$.
2. Hitung jumlah enam suku dengan $a=7$ dan $r=1$.
3. Hitung $16+8+4+2+1$.

Pembahasan

1. $S_4=(3^4-1)/(3-1)=40$.
2. $S_6=6(7)=42$.
3. $S_5=16(1-(1/2)^5)/(1-1/2)=31$.

Ingat kembali

Periksa banyak suku dan rasio. Untuk jumlah berhingga, rasio boleh pecahan, negatif, atau lebih dari satu; rasio 1 memakai rumus tersendiri.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan, contoh, dan soal baru berdasarkan Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X (Edisi Revisi), 2023, Bab 2, bagian B.2, halaman 56-59 (halaman PDF 72-75).