Sistem Pertidaksamaan dan Daerah Penyelesaian (Pendalaman) - Matematika Kelas 10 SMA

Tujuan belajar

Kamu dapat menentukan irisan beberapa setengah bidang, memeriksa titik batas, dan membedakan solusi real dari solusi hitungan benda.

Semua syarat berlaku sekaligus

Penyelesaian sistem pertidaksamaan adalah irisan daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan. Memenuhi satu atau sebagian syarat belum cukup.

Perhatikan sistem:

$$ \begin{aligned} x&\ge0\\ y&\ge0\\ x+y&\le6\\ 2x+y&\le8 \end{aligned} $$

Dua syarat pertama membatasi kuadran pertama. Dua syarat berikutnya memberi batas jumlah yang harus dipenuhi bersama.

Menggambar dan mencari titik sudut

Garis $x+y=6$ melalui $(6,0)$ dan $(0,6)$. Garis $2x+y=8$ melalui $(4,0)$ dan $(0,8)$. Titik potong kedua garis diperoleh dengan eliminasi: $x=2$, lalu $y=4$.

Setelah memeriksa semua batas, titik sudut daerahnya $(0,0)$, $(4,0)$, $(2,4)$, dan $(0,6)$. Titik potong garis dengan sumbu belum tentu titik sudut daerah irisan. Contohnya $(6,0)$ melanggar $2x+y\le8$.

Semua batas pada contoh memakai tanda yang mengizinkan sama dengan, sehingga sisi dan titik sudut daerah termasuk penyelesaian.

Memeriksa titik

Titik $(2,3)$ memenuhi $2+3=5\le6$ dan $2(2)+3=7\le8$, serta kedua koordinat tidak negatif. Jadi titik itu solusi.

Titik $(4,2)$ memenuhi $x+y\le6$, tetapi $2x+y=10>8$. Titik ini bukan solusi sistem meski memenuhi salah satu batas miring.

Jika salah satu syarat memakai tanda tegas, bagian batas yang terkait tidak termasuk. Misalnya $(2,2)$ tidak memenuhi $x+y<4$, meskipun berada pada garis batasnya.

Solusi tidak selalu berupa daerah luas

Sistem $x+y\le2$ dan $x+y\ge5$ tidak mempunyai solusi. Sebaliknya, sistem $x+y\le4$ dan $x+y\ge4$ mempunyai solusi berupa seluruh garis $x+y=4$ untuk variabel real.

Karena itu, irisan dapat kosong, berupa garis, titik, atau daerah dua dimensi. Jangan mengharuskan setiap sistem menghasilkan bangun dengan luas positif.

Bilangan real atau bilangan bulat?

Grafik biasanya menggambarkan solusi real. Jika $x$ dan $y$ menyatakan banyak benda utuh, pilih hanya titik berkoordinat bilangan bulat tak negatif.

Contoh $(1{,}5,2)$ memenuhi sistem pada gambar secara real, tetapi tidak dapat menyatakan 1,5 kendaraan utuh. Untuk besaran seperti massa, bilangan pecahan dapat masuk akal jika satuannya sesuai.

Cek pemahaman

1. Apakah $(4,0)$ memenuhi sistem contoh?
2. Apakah $(0,7)$ memenuhi sistem contoh?
3. Jika $x,y$ menyatakan banyak kotak, apakah $(1{,}5,2)$ diterima?

Pembahasan

1. Ya, semua syarat terpenuhi dan $2x+y=8$.
2. Tidak, karena $x+y=7>6$.
3. Tidak untuk kotak utuh, walaupun memenuhi pertidaksamaan real.

Ingat kembali

Ambil irisan semua syarat, periksa batasnya, lalu sesuaikan domain variabel dengan konteks.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan, grafik, contoh, dan soal baru berdasarkan Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X (Edisi Revisi), 2023, Bab 4, bagian B, halaman 121-123 (halaman PDF 137-139).