Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel - Matematika Kelas 10 SMA

Tujuan belajar

Kamu dapat mengenali persamaan linear tiga variabel, menyusun sistem, serta menyelesaikannya dengan eliminasi dan substitusi.

Apa yang dimaksud linear?

Bentuk persamaan linear tiga variabel adalah $ax+by+cz=d$, dengan koefisien konstan dan paling sedikit satu dari $a,b,c$ bukan nol. Variabel berpangkat satu, tidak saling dikalikan, dan tidak berada pada penyebut.

Contoh $2x+y-z=7$ adalah linear. Bentuk $x^2+y+z=7$, $xy+z=7$, dan $1/x+y+z=7$ bukan persamaan linear dalam variabel tersebut.

Suatu persamaan dalam sistem boleh tidak memuat salah satu variabel. Misalnya $x+z=5$ sama dengan $x+0y+z=5$. Sistem keseluruhannya tetap dapat melibatkan tiga variabel.

Solusi harus memenuhi semua persamaan

Solusi SPL tiga variabel ditulis sebagai tripel berurutan $(x,y,z)$. Urutannya penting. Perhatikan sistem:

$$ \begin{aligned} x+y+z&=6\\ x-y+z&=2\\ x+y-z&=0 \end{aligned} $$

Tripel $(1,2,3)$ memenuhi ketiganya: $1+2+3=6$, $1-2+3=2$, dan $1+2-3=0$. Memenuhi persamaan pertama saja belum cukup untuk menjadi solusi sistem.

Mengeliminasi variabel

Kurangkan persamaan kedua dari pertama: $2y=4$, sehingga $y=2$. Kurangkan persamaan ketiga dari pertama: $2z=6$, sehingga $z=3$. Substitusikan keduanya ke persamaan pertama: $x+2+3=6$, jadi $x=1$.

Jika koefisien belum sama, kalikan satu atau kedua persamaan dengan konstanta bukan nol sebelum mengurangkan. Operasi harus diterapkan pada seluruh ruas; jangan hanya mengalikan satu suku.

Strategi lain boleh digunakan: pilih variabel yang koefisiennya mudah disamakan, bentuk sistem dua variabel, selesaikan, lalu substitusikan kembali. Periksa hasil pada semua persamaan awal.

Contoh harga paket

Misalkan $x,y,z$ adalah harga satu buku, pensil, dan penghapus, dalam ribu rupiah. Tiga paket memberikan:

$$ \begin{aligned} 2x+y+z&=11\\ x+2y+z&=9\\ x+y+2z&=8 \end{aligned} $$

Jumlahkan semua persamaan: $4x+4y+4z=28$, sehingga $x+y+z=7$. Kurangkan persamaan ini dari persamaan paket pertama, kedua, dan ketiga. Diperoleh $x=4$, $y=2$, dan $z=1$.

Artinya buku Rp4.000, pensil Rp2.000, dan penghapus Rp1.000. Nilai 4 di sini bukan harga empat rupiah karena satuan variabel sudah ditetapkan ribu rupiah.

Cek pemahaman

1. Apakah $x+2y-3z=8$ linear?
2. Jika $x=2$, $y=3$, dan $x+y+z=9$, berapa $z$?
3. Apakah setiap tiga persamaan pasti menghasilkan satu solusi?

Pembahasan

1. Ya, semua variabel berpangkat satu dan tidak saling dikalikan.
2. $z=9-2-3=4$.
3. Tidak. Persamaan dapat saling bergantung atau bertentangan; banyaknya solusi dibahas pada materi berikutnya.

Ingat kembali

Tetapkan arti serta satuan variabel, lakukan operasi pada seluruh persamaan, dan periksa tripel solusi pada semua syarat.

Acuan buku

Disusun dengan penjelasan, grafik, contoh, dan soal baru berdasarkan Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas X (Edisi Revisi), 2023, Bab 4, bagian A, halaman 110-113 (halaman PDF 126-129).